« Trigonométrie/Exercices/Résolution de systèmes » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
→‎Exercice 9-8 : Solution de la question 1 + Solution de la question 2, particulièrement difficile
Ligne 95 :
 
'''2°''' &nbsp;<math>\begin{cases}\sin x\sin y=a\\\cos x+\cos y=b.\end{cases}</math>
{{Solution|titre=Solution de la question 1|contenu=}}
<!--
'''1°''' &nbsp;Lorsque <math>a=0</math> ou <math>b=0</math>, il n'y a de solutions que si <math>a=b=0</math>, et le système équivaut alors à <math>y\equiv-x\mod\pi</math>.
:Lorsque <math>a,b\ne0</math>, le système équivaut à <math>\tan x+\tan y=a\text{ et }\tan x\tan y=1-\frac ab</math> donc à : <math>\tan x,\tan y</math> sont les deux racines réelles du polynôme <math>t^2-at+1-\frac ab</math> (qui existent si et seulement si {{nobr|<math>a^2-4\left(1-\frac ab\right)\ge0</math>).}}
}}
 
{{Solution|titre=Solution de la question 2, particulièrement difficile|contenu=
'''2°''' &nbsp;Lorsque <math>a=0</math>, le système équivaut à <math>\left(\cos x=\pm1\text{ ou }\cos y=\pm1\right)\text{ et }\cos x+\cos y=b</math>. Il a donc des solutions (déterminées, à <math>a=0</math> près et <math>\mod2\pi</math>, par leur cosinus) si et seulement si <math>|b|\le2</math>.
'''2°''' &nbsp;Les solutions sont déterminées <math>\mod2\pi</math> par leur cosinus et le signe de leur sinus.
:Lorsque <math>a\ne0</math>, le signe de <math>a</math> détermine celui de <math>\sin x\sin y</math> et outre cette contrainte, le reste du système équivaut, en notant <math>u=\cos x</math> et <math>v=\cos y</math>, à <math>\left(1-u^2\right)\left(1-v^2\right)=a^2\text{ et }u+v=b</math>, ou encore : <math>1-b^2+2uv+u^2v^2=a^2\text{ et }u+v=b</math>
:Le signe de <math>a</math> détermine celui de <math>\sin x\sin y</math> et outre cette contrainte, le reste du système équivaut, en notant <math>u=\cos x</math> et <math>v=\cos y</math> et <math>P=uv</math>, à <math>\left(1-u^2\right)\left(1-v^2\right)=a^2\text{ et }u+v=b</math>, ou encore : <math>P^2+2P+1-b^2-a^2=0\text{ et }u+v=b</math>, c.-à-d. <math>P=-1\pm\sqrt{a^2+b^2}\text{ et }u+v=b</math>. Les 2 solutions <math>u,v</math> de <math>z^2-bz+P=0</math> appartiennent à <math>\left[-1,1\right]</math> si et seulement si <math>b^2\ge4P</math>, <math>|b|\le2</math> et <math>|b|\le2P+2</math>. Il faut donc que <math>P=-1+\sqrt{a^2+b^2}</math> (et non pas <math>-1-\sqrt{a^2+b^2}</math>), et la condition d'existence de solutions <math>\left(u,v\right)\in\left[-1,1\right]^2</math> est alors : <math>4\sqrt{a^2+b^2}\le b^2+4\le8</math>.
-->
}}
 
{{Bas de page