« Trigonométrie/Exercices/Résolution de systèmes » : différence entre les versions

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Résoudre les systèmes suivants, de paramètres <math>a,b,c\in\R</math> et d'inconnue <math>(x,y)\in\R^2</math> :
 
'''1°''' &nbsp;<math>\begin{cases} x\sin a+y\sin2asin b=\sin3asin c \\ x\cos a+y\cos2acos b=\cos3acos c~;\end{cases}</math>
 
'''2°''' &nbsp;<math>\begin{cases} x\sin a+y\sin bsin2a=\sin csin3a \\ x\cos asin3a+y\cos bsin6a=\cos c~;sin9a.\end{cases}</math>
 
'''3°''' &nbsp;<math>\begin{cases} x\sin a+y\sin2a=\sin3a \\ x\sin3a+y\sin6a=\sin9a.\end{cases}</math>
{{Solution|contenu=
'''1°''' &nbsp;Le déterminant de ce [[système d'équations linéaires]] est égal à <math>\sin a\cos2acos b-\sin2asin b\cos a=-\sin \left(a-b\right)</math>.
:Il est nul lorsque <math>a=k\pi</math> (avec <math>k\in\Z</math>), et l'ensemble des solutions est alors <math>\{\left(1-(-1)^ky,y\right)\mid y\in\R\}</math>.
:Si <math>a\notin\pi\Z</math>, le système est [[Systèmes de Cramer|de Cramer]] et son unique solution est <math>\left(-1,2\cos a\right)</math>.
'''2°''' &nbsp;Le déterminant est <math>\sin a\cos b-\sin b\cos a=\sin\left(a-b\right)</math>.
:Il est nul lorsque <math>a=b+k\pi</math> (avec <math>k\in\Z</math>), et l'ensemble des solutions est alors <math>\{\left(1-(-1)^ky,y\right)\mid y\in\R\}</math>.
:Si <math>a-b\notin\pi\Z</math>, le système est [[Systèmes de Cramer|de Cramer]] et son saunique solution est <math>\left(\frac{\sin\left(c-b\right)}{\sin\left(a-b\right)},\frac{\sin\left(a-c\right)}{\sin\left(a-b\right)}\right)</math>.
'''32°''' &nbsp;Le système équivaut à
:<math>\begin{cases}\sin a=0\text{ ou }x+2y\cos a=3-4\sin^2a\\\sin3a=0\text{ ou }x+2y\cos3a=3-4\sin^23a.\end{cases}</math>
:*Si <math>a\in\pi\Z</math>, l'ensemble de ses solutions est donc <math>\R^2</math> tout entier.