« Trigonométrie/Exercices/Résolution de systèmes » : différence entre les versions
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m →Exercice 9-7 : bribes de solutions |
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Ligne 96 :
Résoudre et discuter les systèmes d'équations suivants :
'''1°''' <math>\begin{cases}
'''2°''' <math>\begin{cases}
'''3°''' <math>\begin{cases}
{{Solution|contenu=}}
<!--'''1°''' Si <math>a=b=0</math>, les solutions <math>\{x,y\}</math> sont <math>\{x,x+(2k+1)\pi\}\quad x\in\R,k\in\Z</math>.
:Si <math>b=0</math> et <math>0<|a|\le2</math>, <math>y=-x+(2k+1)\pi</math> avec <math>\sin x=\frac a2</math>.
:Si <math>b=0</math> et <math>|a|>2</math>, pas de solution.
:Si <math>a=0</math> et <math>b\ne0</math>, la discussion est analogue car <math>\sin\theta=\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)</math>.
:Si <math>a,b\ne0</math>, le système équivaut à
:<math>\begin{cases}2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2=a\\2\cos\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2=b\end{cases}</math>
:donc à <math>\tan\frac{x+y}2=\frac ab</math> et <math>\cos^2\frac{x-y}2=\frac{ab}{2\sin(x+y)}=\frac{a^2+b^2}4</math>.
:Si <math>a^2+b^2>4</math>, pas de solution. Sinon, soient <math>\alpha,\beta\in\R</math> tels que <math>\tan\alpha=\frac ab</math> et <math>\cos\beta=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}2</math>. Le système équivaut alors à <math>\frac{x+y}2\equiv\alpha\mod\pi</math> et <math>\frac{x-y}2\equiv\pm\beta\mod\pi</math>, soit <math>x\equiv\alpha\pm\beta\mod\pi</math> et <math>y=2\alpha-x+2k\pi\quad(k\in\Z)</math>.
'''2°''' Il faut bien sûr supposer <math>a\ne0</math>. Le système équivaut alors à <math>\sin(x+y)=\cos x\cos y=a</math>. Si <math>|a|>1</math>, pas de solution. Sinon, soit <math>\alpha\in\R</math> tel que <math>\sin\alpha=a</math>.
:<math>x+y\equiv\alpha\text{ ou }\pi-\alpha\mod2\pi</math>.
-->
== Exercice 9-8 ==
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