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'''2°''' <math>\begin{cases}\tan x+\tan y=1\\\cos x\cos y=a~;\end{cases}</math>
'''3°''' <math>\begin{cases}\cos xcos2x+\cos ycos2y=1\\\cos\frac x2x+\cos\frac y2y=m.\end{cases}</math>
{{Solution|contenu=}}
<!--'''1°''' Si <math>a=b=0</math>, les solutions <math>\{x,y\}</math> sont <math>\{x,x+(2k+1)\pi\}\quad x\in\R,k\in\Z</math>. Supposons maintenant <math>a^2+b^2\ne0</math>. Alors, <math>y\mod2\pi</math> sera entièrement déterminé en fonction de <math>x</math> par son cosinus {{nobr|(<math>a-\sin x</math>)}} et son sinus (<math>b-\cos x</math>), sous réserve que ces deux données soient compatibles, c.-à-d. que <math>(a-\sin x)^2+(b-\cos x)^2=1</math>, ce qui équivaut à
:Si :<math>\frac b=0</math> et <math>0<|{\sqrt{a|^2+b^2}}\le2</math>,cos <math>y=-x+(2k+1)\pi</math>frac avec <math>a{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x=\frac a2{\sqrt{a^2+b^2}}2</math>.
:On détermine les solutions <math>x</math> par la méthode habituelle, cf. [[../../Équations et inéquations trigonométriques#Cas général|Cas général]] (il en existe si et seulement si <math>a^2+b^2\le4</math>).
:Si <math>b=0</math> et <math>|a|>2</math>, pas de solution.
:Si'''2°''' <math>a=0</math> Il faut bien sûr etsupposer <math>ba\ne0</math>,. laLe discussionsystème estéquivaut analoguealors carà <math>\sin\theta(x+y)=\cos x\left(\frac\pi2-\theta\right)cos y=a</math>.
:Si <math>|a|>1</math>, pas de solution. Si <math>|a|\le1</math>, <math>x+y\mod2\pi</math> est déterminé par <math>\sin(x+y)=a</math> et <math>\cos(x+y)=\varepsilon\sqrt{1-a^2}</math>, avec <math>\varepsilon=\pm1</math>, et la seconde équation équivaut alors à <math>\cos(x-y)=2a-\varepsilon\sqrt{1-a^2}</math>. Or <math>\left(2a-\varepsilon\sqrt{1-a^2}\right)^2\le1\Leftrightarrow\varepsilon a=|a|\le\frac45</math>.
:Si <math>a,b\ne0</math>, le système équivaut à
: SiFinalement, il y a des solutions si et seulement si <math> |a ^2+b^2>4|\le\frac45</math>, paset deelles solution.sont alors Sinondonnées, soientpour <math>\alpha,\beta\in\R</math> tels que <math>\ tansin\alpha=a</math>, <math>\cos\alpha=\frac aba{|a|}\sqrt{1-a^2}</math> et <math>\cos\beta= 2a-\frac a{ |a|}\sqrt{ 1-a ^2+b^2} }2</math> ., Lepar système équivaut alors à: <math> \frac{x+y }2\equiv\alpha\ modmod2\pi</math> et <math> \frac{x-y }2\equiv=\pm\beta\ modmod2\pi</math>, soitc.-à-d. <math> xy\equiv\alpha -x\ pm\beta\modmod2\pi</math> et <math> y=2x\equiv\frac{\alpha -x+2k\ pipm\ quad(kbeta}2\ inmod\ Z)pi</math>. ▼:<math>\begin{cases}2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2=a\\2\cos\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2=b\end{cases}</math>
:donc'''3°''' Le système équivaut à <math>\tan\frac{cos x+y}2=u,\fraccos aby=v</math> (ce qui détermine <math>x,y</math> à <math>\pm</math> près et <math>\cos^2mod2\frac{x-y}2pi</math>), avec <math>u+v=m\fractext{ab}{2\sin(x+y) et }uv=P:=\frac{a^2+bm^2}42-\frac34</math>.
:Cf. [[../../Équations et inéquations trigonométriques#Condition d'existence de deux cosinus (ou deux sinus) de somme et produit prescrits|Condition d'existence de deux cosinus de somme et produit prescrits]] : il existe des solutions si et seulement si <math>|m|-\frac14\le\frac{m^2}2</math> et <math>|m|\le\sqrt3</math>.
▲:Si <math>a^2+b^2>4</math>, pas de solution. Sinon, soient <math>\alpha,\beta\in\R</math> tels que <math>\tan\alpha=\frac ab</math> et <math>\cos\beta=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}2</math>. Le système équivaut alors à <math>\frac{x+y}2\equiv\alpha\mod\pi</math> et <math>\frac{x-y}2\equiv\pm\beta\mod\pi</math>, soit <math>x\equiv\alpha\pm\beta\mod\pi</math> et <math>y=2\alpha-x+2k\pi\quad(k\in\Z)</math>.
}}
'''2°''' Il faut bien sûr supposer <math>a\ne0</math>. Le système équivaut alors à <math>\sin(x+y)=\cos x\cos y=a</math>. Si <math>|a|>1</math>, pas de solution. Sinon, soit <math>\alpha\in\R</math> tel que <math>\sin\alpha=a</math>.
:<math>x+y\equiv\alpha\text{ ou }\pi-\alpha\mod2\pi</math>.
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== Exercice 9-8 ==
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