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On considère la fonction tangente f, définie par <math>\operatorname{f(x)}tan=\tan(x)frac\sin\cos</math>, et l'on appellenote <math> \mathcal{ C}_f</math> sa courbe représentative dans un repère orthonormé <math>\left(O;\vec i,\vec j\right)</math>.
'''1.'''Déterminer l’ensemble de définition <math>D_\tan</math> de lacette fonction tangente.
'''2.'''
:'''1a.''' Montrer que <math>\forall x \in D_fD_\tan</math> on a <math>(x+ \pi) \in D_fD_\tan</math> et <math>\operatorname{ftan\left(x+\pi\right)}= \operatorname{ftan(x)}</math>.
:'''2b.''' Interprétez géométriquement ce résultat.
:'''3c.''' Sur quellequel intervalle suffit il d'étudier la fonction ?
'''3.'''
:'''1a.''' Étudier la parité de la fonction f<math>\tan</math> et interprétez géométriquement le résultat.
:'''2b.''' Sur quel intervalle suffirait-il en fait de faire l'étude de la fonction f.<math>\tan</math> ?
'''4.''' Soit un réel <math>x \in \left]\frac{-\pi}{2};,\frac{\pi}{2}pi2\right[</math>. Exprimez en fonction de <math>\tan(x)</math> les réels suivants : <math>\tan(-x);\ \tan(k\pi + x);</math> où <math>k \in \Z</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right); \</math>, <math>\tan\left(\frac{\pi}{2} + pi2-x\right); \ \tan(k\pi + x)</math> oùet <math>k \in tan\Zleft(\frac\pi2+x\right)</math>.
'''5.''' Donner la valeur exacte des réels suivant : <math>\tan0 tan(0),\ \tan\left(\frac{\pi}{6}pi6\right),\ \tan\left(\frac{\pi}{4}pi4\right),\ \tan\left(\frac{\pi}{3}pi3\right)</math>.
'''6.''' Montrer que pour tout réel x<math>x\in D_fD_\tan</math> on a <math>1+\tan (x )= \left(\frac{1}frac1{\cos ^2 x2x}\right)</math>.
{{Solution
| contenu =
'''1.''' <math>\operatorname{ftan(x)}= \frac{\sin x}{\cos x}</math> donc f est définiedéfini si et seulement si <math>\cos x \ne 0</math> d'où <math>D_f D_\tan= \R \backslash setminus\left\{\frac{\pi}{2}pi2+k\pi;\mid k \in \Z\right\}</math> que l’on peut noter <math>D_f = \bigcup_{k \in \Z} \left] \frac{- \pi}{2}+k \pi; ,\frac{\pi}{2}pi2+k \pi \right][</math>.
'''2.'''
:'''1a.''' Pour tout <math>x \in D_fD_\tan</math>, il existe <math>k \in \Z</math> tel que <math>cos\left( -\frac{\pi}{2} \right)+k \pi<x< \left( \frac{\pi}{2} \right)+k \pi</math> On a donc <math>\left(-\frac{\pi}{2}\right)+k \pi + \pi < x + \pi < \left(\frac{\pi}{2}\right)+k \pi + \pi</math> d'où <math>\left(=-\frac{\pi}{2}\right)+k' \pi <cos x + \pi < \left(\frac{\pi}{2}\right)+k' \pine0</math>, où k'=k+1 (donc k'<math>\in \Z</math>). Cece qui prouve que <math>(x + \pi)\in D_\Ztan</math>.
:De plus, <math>\operatorname{ftan(x + \pi)} = \frac{\sin(x+ \pi)}{\cos(x+ \pi)}=\frac{-\sin( x)}{-\cos( x)}=\tan x</math> donc <math>\operatorname{f(x + \pi)} = \operatorname{f(x)}</math>.
:'''2b.''' La fonction f<math>\tan</math> est π -périodique (c'est-à-dire périodique de période pi). Géométriquement la courbe <math>\mathcal{ C}_f</math> se répète dans des translations de vecteur <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \Z</math>.
:'''3c.''' Il suffit d'étudier f<math>\tan</math> sur <math>\left]\frac{-\pi}{2}; ,\frac{\pi}{2}pi2\right[</math> (intervalle d'amplitude égale à 1une période, soit pi) puis de translater la courbe obtenue par les translations de vecteur <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \Z</math>.
'''3.'''
:'''1a.''' Pour tout <math>\forall x \in D_\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[tan</math>, <math>\cos(-x) =\incos x\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[ne0</math>, etce onqui aprouve que <math>\operatorname f(-x)=\left(\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}\right)=\left(\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\right)=-in D_\tan x</math>.
:De plus, <math>\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan(x)</math>.
:La fonction tangente est donc impaire. <math>\mathcal{ C}_f</math> est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.
:'''2b.''' Il suffirait juste d'étudier f<math>\tan</math> sur <math>\left][0;,\frac{\pi}{2}pi2\right[</math> puis de construire le symétrique de la courbe obtenue par rapport à O et enfin de translater la nouvelle courbe obtenue par les translations des vecteurs <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \Z</math>.
'''4.'''
*D'après 2a, <math>\forall tan(k\pi+x )=\intan \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[x</math>on apour d’après 3atout <math>k \tan(-x)=-in \tan xZ</math>.
* DeD’après plus3a, <math>\tan(\pi-x)=\left(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}\right)=\left(\frac{\sin x}{-\cos x}\right)=-\tan x</math>.
* Pour x≠0 : <math>\tan\left(\pi+frac\pi2-x\right)=\left(\frac{\sin\left(\pi+frac\pi2-x\right)}{\cos\left(\pi+frac\pi2-x)}\right)}=\left(\frac{-\sincos x}{-\cossin x}\right)=\frac1{\tan x}</math>.
* Pour x≠0 : <math>\tan\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)-pi2+x\right)=\frac{tan\sinleft(\frac{\pi2+x-\pi}{2}-x\right)}{=\costan\left(x-\frac{\pi}{2}-xpi2\right)}=-\tan\left(\frac{cos \pi2-x}{\sin x}right)=-\frac{1}frac1{\tan x}</math>.
* Pour x≠0 : <math>\tan\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)+x\right)=\frac{\sin(\frac{\pi}{2}+x)}{\cos(\frac{\pi}{2}+x)}=\frac{cos x}{-\sin x}=-\frac{1}{\tan x}</math>
* <math>\tan(k\pi+x)=\tan x</math> pour tout <math>k \in \Z</math> (car tan est π-périodique)
'''5.'''
* <math>\tan 0=\left(\frac{\sin0}{\cos 0}\right)=0</math>
* <math>\tan\left(\frac{\pi}{6}pi6\right)=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{6})pi6}{\cos(\frac{\pipi6}{6})}\right)=\frac{1}{2} frac12\times \frac{2}frac2{\sqrt{3}sqrt3}=\fracfrac1{\sqrt{3}}{3sqrt3}</math>.
* <math>\tan\left(\frac{\pi}{4}pi4\right)=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{4})pi4}{\cos(\frac{\pipi4}{4})}\right)=\fracfrac1{\sqrt{2sqrt2}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}}sqrt2=1</math>.
* <math>\tan\left(\frac{\pi}{3}pi3\right)=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{3})pi3}{\cos(\frac{\pipi3}{3})}\right)=\frac{\sqrt{3sqrt3}}{2} \times 2 =\sqrt{3}sqrt3</math>.
'''6.''' <math>\forall x \in D_fD_\tan</math>, on a <math>1+ \tan ^2 x=1+\left(\frac{\sin ^2 x2x}{\cos ^2 x2x}\right)=\left(\frac{\cos ^2 x 2x+ \sin ^2 x2x}{\cos ^2 x2x}\right)=\frac{1}frac1{\cos ^2 x2x}</math><br />.
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