« Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 3 » : différence entre les versions

'''2°''' &nbsp;<math>2s^2-3s+1<0\Leftrightarrow\frac12<s<1</math> donc un réel <math>x</math> est solution de <math>2\sin^2x-3\sin x+1<0</math> si et seulement si <math>\exists k\in\Z\quad\left(\frac\pi6+2k\pi<x<\frac{5\pi}6+2k\pi\text{ et }x\ne\frac\pi2+2k\pi\right)</math>.

 

}}

 

'''4°''' &nbsp;<math>2\tan x-3\cot x+m=0</math>.

{{Solution|titre=Solution de la question 1, particulièrement difficile|contenu=

:*Si <math>\frac{\sqrt3}2-1\le m\le6-2\sqrt3</math>, il y a en général <math>\pmod{2\pi}</math> 4 solutions : <math>\alpha_+</math>, <math>\pi-\alpha_+</math>, <math>\alpha_-</math> et <math>\pi-\alpha_-</math>, pour <math>\alpha_+,\alpha_-\in\R</math> tels que <math>\sin\alpha_\pm=s_\pm</math> (avec, dans le cas limite <math>m=6-2\sqrt3</math>, seulement 3 solutions car <math>s_+=1</math> donc <math>\alpha_+\equiv\pi-\alpha_+\equiv\frac\pi2</math>).

:*Si <math>6-2\sqrt3<m\le2+2\sqrt3</math>, <math>-1\le s_-<1<s_+</math> donc il y a en général <math>\pmod{2\pi}</math> 2 solutions : <math>\alpha_-\pmod{2\pi}</math> et <math>\pi-\alpha_-\pmod{2\pi}</math> (avec, dans le cas limite <math>m=2+2\sqrt3</math>, seulement une solution car <math>s_-=-1</math> donc <math>\alpha_-\equiv\pi-\alpha_-\equiv-\frac\pi2</math>).

'''2°''' &nbsp;Si <math>m=0</math>, l'équation est <math>\sin x=-\frac12</math> et ses solutions <math>\pmod{2\pi}</math> sont <math>-\frac\pi6</math> et <math>-\frac{5\pi}6</math>.

:Si <math>m\ne0</math>, le discriminant réduit de l'équation <math>ms^2-2s+m-1=0</math> est <math>\Delta'=1-m\left(m-1\right)=-m^2+m+1</math>.

:*Si <math>\frac{1-\sqrt5}2\le m<-\frac12</math>, il n'y a pas de solution car <math>s_+\le s_-<-1</math>.

:*Si <math>-\frac12\le m<\frac32</math> (avec <math>m\ne0</math>), seule <math>s_-</math> est comprise entre <math>-1</math> et <math>1</math> donc il y a en général <math>\pmod{2\pi}</math> deux solutions : <math>\alpha_-</math> et <math>\pi-\alpha_-</math>, pour <math>\alpha_-\in\R</math> tel que <math>\sin\alpha_-=s_-</math> (avec, dans le cas limite <math>m=-\frac12</math>, seulement une solution car <math>s_-=-1</math> donc <math>\alpha_-\equiv\pi-\alpha_-\equiv-\frac\pi2</math>).

Les deux solutions sont donc :

:<math>x_\pm=\frac{1-\cos b\cos c\pm(\cos b-\cos c)}{\sin^2b}</math>,

:<math>x_+=\frac{1-\cos b\cos c+\cos b-\cos c}{\sin^2b}=\frac{(1+\cos b)(1-\cos c)}{\sin^2b}=\frac{\sin^2\frac c2}{\sin^2\frac b2}</math> et

:<math>x_-=\frac{1-\cos b\cos c-\cos b+\cos c}{\sin^2b}=\frac{(1-\cos b)(1+\cos c)}{\sin^2b}=\frac{\cos^2\frac c2}{\cos^2\frac b2}</math>.