« Axiomes de Peano » : différence entre les versions
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Ligne 10 :
Un nombre entier naturel est un nombre positif (supérieur ou égal à 0) qui peut s’écrire sans virgule dans le système de numération habituel, par exemple 1, 12 ou 6553.
== Les
Leur ensemble,
# L'ensemble possède un élément particulier que l’on note 0.
Ligne 20 :
== Quelques conséquences ==
* À partir de ces axiomes, on peut [[
* On peut définir 1 comme le successeur de 0.
* On peut définir l''''addition''' par les deux axiomes suivants :
Ligne 28 :
:# <math>\forall (a,b) \in \N^2 : a . S(b) = a + a . b</math>
:# <math>\forall a \in \N : a . 0 = 0.</math>
*On peut définir l'ordre usuel par : <math>\forall (a,b) \in \N^2 : a\le b\Leftrightarrow\exists c\in\N\quad b=a+c
== Conclusion ==
Ces axiomes permettent de ''démontrer'', et non plus d'''admettre'', toutes les propriétés des deux opérations de base.
Ainsi, il est
* pour l''''addition''' :
**
**
**
* pour la '''multiplication''' :
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**
**
**
Pour plus de détails, voir [[Introduction aux mathématiques/Entiers naturels]].
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