« Axiomes de Peano » : différence entre les versions
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== Les axiomes de Peano ==
Leur ensemble, noté <math>\N</math>, est défini par les axiomes de Peano :
== Quelques conséquences ==
* À partir de ces axiomes, on peut [[Introduction aux mathématiques/Entiers naturels#Récurrences|démontrer le théorème de récurrence]]. ▼
* On peut définir 1 comme le successeur de 0.
* On peut définir l''''addition''' par les deux axiomes suivants :
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:# <math>\forall a \in \N : a . 0 = 0.</math>
*On peut définir l'ordre usuel par : <math>\forall (a,b) \in \N^2 : a\le b\Leftrightarrow\exists c\in\N\quad b=a+c</math>. On montre alors que <math>0</math> est le plus petit entier naturel.
▲*
== Conclusion ==
Ligne 44 ⟶ 43 :
**la neutralité de 1.
Pour plus de détails, voir [[Introduction aux mathématiques/Entiers naturels]].
==Axiomatisation équivalente==
On peut démontrer que les axiomes 1 à 5 ci-dessus (associés à la définition de <math>\le</math> qu'ils permettent) sont équivalents à :
<math>(\N,\leq)</math> est un ensemble ordonné non vide vérifiant :
* (N1) : Toute partie non vide de <math>\N</math> admet un plus petit élément,
* (N2) : Toute partie non vide et majorée de <math>\N</math> admet un plus grand élément,
* (N3) : <math>\N</math> lui-même n'admet de plus grand élément.
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