« Axiomes de Peano » : différence entre les versions
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→Axiomatisation équivalente : preuve d'un sens de l'équivalence |
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Ligne 45 :
==Axiomatisation équivalente==
On peut démontrer que les axiomes
<math>(\N,\leq)</math> est un ensemble ordonné non vide vérifiant :
Ligne 51 :
* (N2) : Toute partie non vide et majorée de <math>\N</math> admet un plus grand élément,
* (N3) : <math>\N</math> lui-même n'admet de plus grand élément.
{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration de N1…N3 ⇒ P1…P5|contenu=
Soit <math>\N</math> comme ci-dessus.
*L'ordre sur <math>\N</math> est total puisque toute paire a un plus petit élément.
*(P1) : En tant que partie non vide de lui-même, <math>\N</math> admet un plus petit élément, noté <math>0</math>.
*(P2) : Pour tout <math>n\in\N</math>, l'ensemble des majorants stricts de <math>n</math> est non vide d'après (N3), donc admet un plus petit élément d'après (N1). On le note <math>S(n)</math>.
*(P3) : <math>0</math> n'est le successeur d'aucun élément de <math>\N</math> car il n'est, par définition, majorant strict d'aucun élément.
*(P4) : <math>S</math> est injective car strictement croissante. En effet, si <math>n<m</math> alors <math>S(n)\leq m<S(m)</math>.
*Tout <math>n\in\N\setminus\{0\}</math> possède un antécédent par <math>\sigma</math>. En effet, l'ensemble <math>B</math> des minorants stricts de <math>n</math> contient <math>0</math> et est majoré par <math>n</math>. D'après (N2), <math>B</math> admet donc un plus grand élément, <math>m</math>. Pour tout <math>x\in\N</math>, on a <math>x<n\Leftrightarrow x\in B\Leftrightarrow x\le m\Leftrightarrow x<\sigma(m)</math>. En particulier, on n'a ni <math>\sigma(m)<n</math>, ni <math>n<\sigma(m)</math>, donc <math>n=\sigma(m)</math>.
*(P5) : Soit <math>E\subset\N</math> tel que <math>0\in E</math> et <math>S(E)\subset E</math>, montrons par l'absurde que <math>E=\N</math>. Sinon, d'après (N1), il existerait un plus petit entier n'appartenant pas à <math>E</math>, notons le <math>m</math>. Comme <math>0\in E</math>, <math>m</math> est non nul, et admet donc un antécédent par <math>S</math>, qu'on note <math>\mu</math>. Ainsi, <math>\mu<m</math> et donc par définition de <math>m</math>, <math>\mu\in E</math>, d'où <math>m=\sigma(\mu)\in S(E)\subset E</math>, ce qui est contradictoire.
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