« Axiomes de Peano » : différence entre les versions
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→Axiomatisation équivalente : preuve d'un sens de l'équivalence |
m →Axiomatisation équivalente : -scories |
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*(P3) : <math>0</math> n'est le successeur d'aucun élément de <math>\N</math> car il n'est, par définition, majorant strict d'aucun élément.
*(P4) : <math>S</math> est injective car strictement croissante. En effet, si <math>n<m</math> alors <math>S(n)\leq m<S(m)</math>.
*Tout <math>n\in\N\setminus\{0\}</math> possède un antécédent par <math>
*(P5) : Soit <math>E\subset\N</math> tel que <math>0\in E</math> et <math>S(E)\subset E</math>, montrons par l'absurde que <math>E=\N</math>. Sinon, d'après (N1), il existerait un plus petit entier n'appartenant pas à <math>E</math>, notons le <math>m</math>. Comme <math>0\in E</math>, <math>m</math> est non nul, et admet donc un antécédent par <math>S</math>, qu'on note <math>\mu</math>. Ainsi, <math>\mu<m</math> et donc par définition de <math>m</math>, <math>\mu\in E</math>, d'où <math>m=\sigma(\mu)\in S(E)\subset E</math>, ce qui est contradictoire.
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