« Axiomes de Peano » : différence entre les versions
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▲== Les axiomes de Peano ==
▲Leur ensemble, noté <math>\N</math>, est défini par les axiomes de Peano :
*(P1) : L'ensemble possède un élément particulier que l’on note 0.
*(P2) : Chaque élément ''n'' possède un successeur que l’on note ''S''(''n'').
*(P3) : 0 n'est le successeur d'aucun élément.
*(P4) :
*(P5) : Toute partie de <math>\N</math> contenant 0 et stable par ''S'' est égale à <math>\N</math> tout entier (''[[Suites et récurrence/Démonstration par récurrence (r)|axiome de récurrence]]'').
==Suite définie par une relation de récurrence==
== Quelques conséquences ==▼
{{Théorème
| titre = Théorème :
| contenu =
:# <math>\forall (a,b) \in \N^2 : a + S(b) = S(a + b).</math>▼
*On peut définir l'ordre usuel par : <math>\forall (a,b) \in \N^2 : a\le b\Leftrightarrow\exists c\in\N\quad b=a+c</math>. On montre alors que <math>0</math> est le plus petit entier naturel.▼
Alors il existe une unique suite <math>(u_n)_{n\in\N}</math> d'éléments de <math>X</math> vérifiant :
* <math>u_0=a</math> ;
Ces axiomes permettent de ''démontrer'', et non plus d'''admettre'', toutes les propriétés des deux opérations de base.▼
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Il suffit de montrer par récurrence, c.-à-d. à l'aide de l'axiome (P5), que pour tout <math>n\in\N</math>, il existe une unique suite finie <math>u^n=\left(u^n_k\right)_{0\le k\le n}</math> satisfaisant les deux points ; la suite <math>u=\left(u_k\right)_{k\in\N}</math> définie par : <math>u_k=</math> la valeur commune <math>u^n_k</math> pour tous les <math>n\ge k</math> sera alors l'unique suite infinie satisfaisant les deux points.
*L'existence et l'unicité de <math>u^0</math> sont immédiates.
*Supposons l'existence et l'unicité de <math>u^n</math> et montrons celles de <math>u^{S(n)}</math>. Une suite <math>v=\left(v_k\right)_{0\le k\le S(n)}</math> vérifie les deux points si et seulement si sa restriction à <math>\{0,\dots,n\}</math> les vérifie c.-à-d. est égale à <math>u^n</math> et de plus, <math>v_{S(n)}=f(v_n)</math> c.-à-d. <math>v_{S(n)}=f(u^n_n)</math>.
}}
==Addition et multiplication==
On peut ensuite définir l''''addition''' de la façon suivante. Pour un élément <math>m\in\N</math>, le théorème ci-dessus permet de définir la suite <math>(m+n)_{n\in\N}</math> par :
:<math>\begin{cases}&m+0=m\\\forall n\in\N\quad&m+S(n)=S(m+n).\end{cases}</math>
On pose <math>1=S(0)</math>. On remarque alors que <math>\forall n\in\N\quad n+1=S(n)</math>.
On peut définir de même la '''multiplication'''. Pour un élément <math>m\in\N</math>, la suite <math>(m\times n)_{n\in\N}</math> est définie par :
:<math>\begin{cases}&m\times0=0 \\\forall n\in\N\quad&m\times\sigma(n)=(m\times n)+m.\end{cases}</math>.<br>L'entier <math>m\times n</math> est également noté <math>mn</math>.
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* pour l''''addition''' :
**la commutativité,▼
**l'associativité,
**la neutralité de 0
*:On résume ces trois propriétés en disant que <math>(\N,+)</math> est un [[monoïde]] commutatif ;
* pour la '''multiplication''' :
**la commutativité,
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**la distributivité,
**la neutralité de 1.
{{Démonstration déroulante|contenu=
Toutes les démonstrations se font par récurrence, c.-à-d. à l'aide de l'axiome (P5).
*<math>\forall m,n,p\in\N\quad(m+n)+p=m+(n+p)</math>. Démonstration par récurrence sur <math>p</math>, pour <math>m</math> et <math>n</math> fixés.
**L'initialisation est immédiate.
**Pour l'hérédité, supposant que <math>(m+n)+p=m+(n+p)</math>, on en déduit : <math>(m+n)+S(p)=S((m+n)+p)=S(m+(n+p))=m+S(n+p)=m+(n+S(p))</math>.
*<math>\forall m\in\N\quad 0+m=m</math>. Démonstration par récurrence sur <math>m</math>. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, supposant que <math>0+m=m</math>, on en déduit : <math>0+S(m)=S(0+m)=S(m)</math>.
*Lemme : <math>\forall n\in\N\quad S(n)=1+n</math>. Démonstration par récurrence sur <math>n</math>. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, supposant que <math>S(n)=1+n</math>, on en déduit (d'après la remarque faite lors de la définition de 1, et par associativité de +) : <math>S(S(n))=S(1+n)=(1+n)+1=1+(n+1)=1+S(n)</math>.
*<math>\forall m,n\in\N\quad m+n=n+m</math>. Démonstration par récurrence sur <math>n</math>, pour <math>m</math> fixé.
**Initialisation : c'est la neutralité de 0, déjà démontrée.
**Hérédité : supposant que <math>m+n=n+m</math>, on en déduit (grâce au lemme, et par associativité de +) : <math>m+S(n)=S(m+n)=S(n+m)=n+S(m)=n+(1+m)=(n+1)+m=S(n)+m</math>.
*La preuve des propriétés de la multiplication est laissée en exercice.
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▲*On peut définir l''''ordre''' usuel par : <math>\forall (a,b) \in \N^2 : a\le b\Leftrightarrow\exists c\in\N\quad b=a+c</math>. On montre alors que <math>0</math> est le plus petit entier naturel.
*On peut enfin énoncer le '''théorème de récurrence''', qui est une version affaiblie de l'axiome (P5) : si <math>\mathcal P</math> est un prédicat dans le [[Logique formelle/Calcul des prédicats|langage du premier ordre]] sur <math>\{0,+,\times,\le\}</math> tel que :
**<math>\mathcal P(0)</math> est vraie — c'est l''''initialisation''' de la récurrence,
**<math>\forall n\in\N\quad\left[\mathcal P(n)\Rightarrow\mathcal P(\sigma(n))\right]</math> — c'est l''''hérédité''',
*:alors <math>\forall n\in\N\quad\mathcal P(n)</math> est vrai.
==Axiomatisation équivalente==
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*(P4) : <math>S</math> est injective car strictement croissante. En effet, si <math>n<m</math> alors <math>S(n)\leq m<S(m)</math>.
*Tout <math>n\in\N\setminus\{0\}</math> possède un antécédent par <math>S</math>. En effet, l'ensemble <math>B</math> des minorants stricts de <math>n</math> contient <math>0</math> et est majoré par <math>n</math>. D'après (N2), <math>B</math> admet donc un plus grand élément, <math>m</math>. Pour tout <math>x\in\N</math>, on a <math>x<n\Leftrightarrow x\in B\Leftrightarrow x\le m\Leftrightarrow x<S(m)</math>. En particulier, on n'a ni <math>S(m)<n</math>, ni <math>n<S(m)</math>, donc <math>n=S(m)</math>.
*(P5) : Soit <math>E\subset\N</math> tel que <math>0\in E</math> et <math>S(E)\subset E</math>, montrons par l'absurde que <math>E=\N</math>. Sinon, d'après (N1), il existerait un plus petit entier n'appartenant pas à <math>E</math>, notons le <math>
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