« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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m →Exercice 1 : màj |
→Exercice 6 : +1 |
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Ligne 106 :
Sa somme se déduit d'ailleurs de celle de la [[../Série harmonique#Question 4|série harmonique alternée]] :
:<math>\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}n=\ln2-1</math>.
}}
==Exercice 7==
Soient <math>(a_n)</math> une suite monotone et bornée et <math>\sum b_n</math> une série convergente. Montrer que <math>\sum a_nb_n</math> est convergente.
{{Solution|contenu=
D'après les hypothèses, la suite <math>(a_n)</math> admet une limite finie <math>a</math> et la suite des sommes partielles de la série <math>\sum b_n</math> est bornée. D'après le test de Dirichlet (corollaire du critère d'Abel), la série <math>\sum\left(a_n-a\right)b_n</math> est convergente. La série <math>\sum ab_n</math> l'étant également, leur somme l'est.
}}
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