« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions

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==Exercice 4==
Nature des deuxtrois séries :
*<math>\sum\sin\frac{(-x)^n}n</math>, pour <math>x\in\R</math> ;
{{Solution|contenu=
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:<math>f'(x)=\frac1{2\sqrt x}\ln\frac{1+\frac1x}{1-\frac1x}-\frac{2\sqrt x}{x^2-1}\sim\frac{-1}{x\sqrt x}<0</math>
donc la série converge, d'après le critère d'Abel.
 
La convergence n'est pas absolue, puisque <math>\sum\frac1{\sqrt n}</math> est une [[../../Séries à termes positifs|série de Riemann divergente]].
}}
*<math>\sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha\;\left(1+\ln n\right)^\beta}</math>.
{{Solution|contenu=Supposons <math>\alpha>0</math> ou [<math>\alpha=0</math> et <math>\beta>0</math>] (sinon, la série est grossièrement divergente).
 
En <math>+\infty</math>,
:<math>f(x):=\frac1{x^\alpha\;\left(1+\ln x\right)^\beta}\to0</math>
et
:<math>f'(x)=-\frac{\alpha\ln x+\beta}{x^{\alpha+1}\;\left(1+\ln x\right)^{\beta+1}}<0</math> pour <math>x</math> suffisamment grand
donc la série converge, d'après le critère d'Abel.
 
La convergence n'est absolue que si <math>\alpha>1</math> ou [<math>\alpha=1</math> et <math>\beta>1</math>], d'après l'[[../Exemple de télescopage|étude des séries de Bertrand]].
}}