« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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Réciproquement on vérifie que tout polynôme <math>P = \alpha X(X+1)(X+2)(X+3)</math> convient.
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== Exercice 1-4 ==
Soit <math>P(X)=X^3-X+1</math>. Montrer que :
#<math>P</math> a une unique réelle <math>\alpha</math> ;
#<math>\alpha<-1</math>.
#Soient <math>\beta,\gamma\in\C</math> les deux autres racines de <math>P</math>. Exprimer <math>\beta+\gamma</math> et <math>\beta\gamma</math> en fonction de <math>\alpha</math>.
#En déduire que <math>|\beta|=|\gamma|<1</math>.
#Calculer <math>\alpha^2+\beta^2+\gamma^2</math>.
{{Solution|contenu=
#Une rapide étude de variations montre que la [[Équation du troisième degré/Fonctions polynômes du troisième degré#Premier cas : le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est strictement positif|fonction polynôme du troisième degré <math>x\mapsto x^3-x+1</math>]] (continue, et de limite <math>-\infty</math> en <math>-\infty</math>) est strictement positive sur <math>\left[-1/\sqrt3,+\infty\right[</math> et strictement croissante sur <math>\left]-\infty,-1/\sqrt3\right]</math>. Elle s'annule donc exactement une fois.
#<math>\alpha<-1/\sqrt3<-1</math>.
#De <math>X^3-X+1=(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)</math> on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : <math>\beta+\gamma=-\alpha</math> et <math>\beta\gamma=-1/\alpha</math>.
#<math>\beta+\gamma,\beta\gamma\in\R</math> donc <math>\gamma=\overline\beta</math>, et <math>|\beta|^2=|\gamma|^2=-1/\alpha<1</math>.
#<math>\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha^2+\left(\beta+\gamma\right)^2-2\beta\gamma=2\alpha^2+2/\alpha=2\frac{\alpha^3+1}\alpha=2</math>.
}}
 
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