« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

(→‎Exercice 1-4 : oups)
{{Solution|contenu=
#Une rapide étude de variations montre que la [[Équation du troisième degré/Fonctions polynômes du troisième degré#Premier cas : le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est strictement positif|fonction polynôme du troisième degré <math>x\mapsto x^3-x+1</math>]] (continue, et de limite <math>-\infty</math> en <math>-\infty</math>) est strictement positive sur <math>\left[-1/\sqrt3,+\infty\right[</math> et strictement croissante sur <math>\left]-\infty,-1/\sqrt3\right]</math>. Elle s'annule donc exactement une fois.
#<math>P\alpha<left(-1\right)=1>0</math> donc <math>\sqrt3alpha<-1</math>.
#De <math>X^3-X+1=(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)</math> on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : <math>\beta+\gamma=-\alpha</math> et <math>\beta\gamma=-1/\alpha</math>.
#<math>\beta+\gamma,\beta\gamma\in\R</math> donc <math>\gamma=\overline\beta</math>, et <math>|\beta|^2=|\gamma|^2=-1/\alpha<1</math>.
13 027

modifications