« Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan » : différence entre les versions
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la fonction <math>\arctan</math> est dérivable et
:<math>\forall x\in\R\quad\arctan'(x)=\frac1{1+\tan^2(\arctan(x))}=\frac1{1+x^2}</math>.
}}
==Somme de deux arctan==
{{Théorème|contenu=
Si <math>xy\ne1</math>,
:<math>\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy}+k\pi</math>
où
:<math>k=\begin{cases}0&\text{si }xy<1,\\
1&\text{si }xy>1\text{ avec }x\text{ (et }y\text{) }>0,\\
-1&\text{si }xy>1\text{ avec }x\text{ (et }y\text{) }<0.\end{cases}</math>
}}
{{Démonstration déroulante|Supposons <math>xy\ne1</math> et posons <math>a=\arctan x,b=\arctan y</math> et calculons la [[Trigonométrie/Relations trigonométriques#Formulaire 1 : addition|tangente de la somme]] :
:<math>\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{x+y}{1-xy}.</math>
Il suffit pour conclure de remarquer que
:<math>a+b\in\begin{cases}\left]-\pi/2,\pi/2\right[&\text{si }xy<1,\\
\left]\pi/2,\pi\right[&\text{si }xy>1\text{ avec }x\text{ (et }y\text{) }>0,\\
\left]-\pi,-\pi/2\right[&\text{si }xy>1\text{ avec }x\text{ (et }y\text{) }<0.\end{cases}</math>
}}
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