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« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions

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}}
 
<math>\mathbb K</math> désigne toujours un corps commutatif et <math>\mathbb K[X]</math> l'anneau des polynômes à coefficients dans <math>\mathbb K</math>ce corps. Certaines des propriétés citées ci-dessous ne sont valables que dans le cas ou <math>\mathbb K</math> est un corps infini, comme <math display="inline">\mathbb Q</math>, <math display="inline">\mathbb R</math> ou <math display="inline">\mathbb C</math>.
 
== Division euclidienne et divisibilité dans lK''K''[''X''] ==
 
{{Théorème
| titre = Théorème et définition : Division euclidienne dans lK''K''[''X'']
| contenu =
Il existe une unique division euclidienne dans <math>\mathbb K[X]</math>, c'est-à-dire :
:<math>\forall A,B \in \mathbb K[X] \times (\mathbb K[X]-\setminus\{0\}) , \quad\exists ! (Q,R) \in (\mathbb K[X])^2 ,\quad A = BQ + R \mathrm{\;et\;} \deg R < \deg B</math>.
 
<math>Q</math> est appelée '''quotient''' de <math>A</math> par <math>B</math> et <math>R</math> '''reste'''.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
La démonstration est généralement faite en deux temps. L'unicité est plutôt plus facile. On utilise par la suite,Avec les notations du paragraphethéorème précédent.:▼
| contenu =
'''Première* étape : unicité''' de la division, c'est-à-dire : « Le couple (''Q'', &nbsp;''R''), s'il existe, est unique ».:'''▼
▲La démonstration est généralement faite en deux temps. L'unicité est plutôt plus facile. On utilise par la suite, les notations du paragraphe précédent.
 
:La démonstration se fonde sur une propriété desdu [[w:degré d'un polynôme|degré d'un polynôme]] degrés,; le degré du produit de deux polynômes ''M'' et ''N'' est égal à la somme des degrés de chaque polynôme :▼
▲'''Première étape : unicité''' de la division, c'est-à-dire : « Le couple (''Q'', ''R''), s'il existe, est unique ».
::<center><math>\text{deg } (M\cdot NMN) = \text{deg }M + \text{deg }N</math></center>▼
:On suppose l’existencel'existence de deux couples (''Q''<sub>1</sub>, &nbsp;''R''<sub>1</sub>), (''Q''<sub>2</sub>, &nbsp;''R''<sub>2</sub>) résultatrésultats de la division euclidienne de ''A'' par ''B'', on va montrer qu’ilsqu'ils sont égaux. On dispose des égalités :▼
::<center><math>A = BQ_1 + R_1,\quad A = BQ_2 + R_2 \quad\text{donc}\quad (1)\quad B(Q_1-Q_2) + =R_2-R_1-R_2 = 0 .</math></center>▼
 
Le polynôme ''B''(''Q''{{ind|1}} – ''Q''{{ind|2}}) est donc de degré strictement inférieur à celui de ''B'', ce qui n'est possible que si ''Q''{{ind|1}} – ''Q''{{ind|2}} est nul. L'égalité (1) montre alors que ''R''{{ind|1}} – ''R''{{ind|2}} est aussi nul.
▲:La démonstration se fonde sur une propriété des degrés, le degré du produit de deux polynômes ''M'' et ''N'' est égal à la somme des degrés de chaque polynôme :
▲::<math>\text{deg } (M\cdot N) = \text{deg }M + \text{deg }N</math>
▲:On suppose l’existence de deux couples (''Q''<sub>1</sub>, ''R''<sub>1</sub>), (''Q''<sub>2</sub>, ''R''<sub>2</sub>) résultat de la division euclidienne de ''A'' par ''B'', on va montrer qu’ils sont égaux. On dispose des égalités :
▲::<math>A = BQ_1 + R_1,\quad A = BQ_2 + R_2 \quad\text{donc}\quad (1)\quad B(Q_1-Q_2) + R_1-R_2 = 0 </math>
 
'''Deuxième* étape : existence''', c'est-à-dire « Il existe un couple (''Q'', &nbsp;''R'') satisfaisant l'identité de la division euclidienne ».:'''▼
:Si la différence entre ''Q''<sub>1</sub> et ''Q''<sub>2</sub> n'était pas nulle, le premier terme de la somme ''(1)'' serait au moins de degré de ''B'', noté ''n''. Comme ''R''<sub>1</sub> et ''R''<sub>2</sub> sont de degrés strictement inférieurs à ''n'', le terme de gauche de l'égalité ''(1)'' ne pourrait être nulle. On en déduit que ''Q''<sub>1</sub> et ''Q''<sub>2</sub> sont égaux, l'égalité ''(1)'' montre alors que ''R''<sub>1</sub> et ''R''<sub>2</sub> sont aussi égaux.
 
:SoitSoient ''pm'' =et ''mn'' -les degrés de ''nA'' et ''B''. Si ''pm < n ''(y estcompris strictementsi ''m ''= négatif{{formule|–∞}}, c'est-à-dire si ''nA ''= est strictement plus grand que ''m''0), il suffit de prendre ''Q'' égal au [[w:Polynôme constant|polynôme constant]] 0 et ''R'' égal à ''A'' pour établir l'existence. Raisonnons par récurrence pour établir les autres cas. SiSoit ''p ≥ n'' est; égalsupposons àla 0,propriété c'est-à-diredémontrée sipour toute valeur de ''nm ''strictement est égalinférieure à ''p ''et montrons-la pour ''m = p''. :Pour cela, notons▼
▲'''Deuxième étape : existence''', c'est-à-dire « Il existe un couple (''Q'', ''R'') satisfaisant l'identité de la division euclidienne ».
<center><math>A = a_mX^m + a_{m-1}X^{m-1} + \cdots + a_0 \quad \text{et}\quad B = b_nX^n + b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_0 \quad\text{avec}\quad b_n\neq 0</math></center>
et posons
<center><math>(2)\quad A_1=A-\frac {a_m}{b_n}X^{m-n} B.</math></center>
 
Ce polynôme est de degré inférieur à ''m'', strictement (car les monômes de degré ''m ''des deux membres de cette différence sont égaux donc s'éliminent). On peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence : il existe deux polynômes ''Q''<sub>1</sub> et ''R''{{ind|1}} tels que :
:Soient ''m'' et ''n'' les degrés de ''A'' et ''B''. Les polynômes sont notés de la manière suivante :
::<center><math>A = a_mX^m + a_{m-1}X^{m-1} + \cdots + a_0 (3)\quad \text{et}\quad B A_1= b_nX^n Q_1B+ b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_0 R_1\quad \text{avec}\quad a_m \neqdeg 0R_1< \;\text{et}\;deg b_n\neq 0\;B.</math></center>
 
En combinant (2) et (3), on obtient :
▲:Soit ''p'' = ''m'' - ''n''. Si ''p'' est strictement négatif, c'est-à-dire si ''n'' est strictement plus grand que ''m'', il suffit de prendre ''Q'' égal au polynôme constant 0 et ''R'' égal à ''A'' pour établir l'existence. Raisonnons par récurrence pour établir les autres cas. Si ''p'' est égal à 0, c'est-à-dire si ''n'' est égal à ''m'' :
::<center><math>A = \frac {a_m}{b_m} B + R \quad \text{avec}\quad R = \left(a_{m-1} - \frac {a_mb_{m-1}a_m}{b_mb_n}\right)X^{m-1n} + Q_1\cdotsright)B + R_1\left(a_1 - quad\fractext{a_mb_1}{b_mavec}\right)X +quad \left(a_0deg -R_1< \fracdeg {a_mb_0}{b_m}\right) \;B,</math></center>
 
Cece qui établit la proposition.}}▼
:Ce qui démontre la proposition pour ''p'' égal à 0. Supposons maintenant la propriété démontrée pour toute valeur inférieure à ''p'' - 1 et montrons la pour ''p''. Un calcul analogue au précédent montre l’existence d'un polynôme ''R''<sub>1</sub> tel que :
::<math>(1)\quad A = \frac {a_m}{b_n} X^p.B + R_1 \quad \text{avec}\quad \deg R_1 \le m - 1 \;</math>
 
:La différence de degré entre ''R''<sub>1</sub> et ''B'' est inférieure ou égal à ''p'' - 1, l'hypothèse de récurrence montre l’existence de deux polynômes ''Q''<sub>1</sub> et ''R'' tel que :
::<math>(2)\quad R_1 = Q_1.B + R \quad \text{avec}\quad \deg R < \deg B \;</math>
 
:En remplaçant la valeur de ''R''<sub>1</sub>calculée dans l'égalité ''(2)'' dans l'égalité ''(1)'', on obtient :
:<math> A = \left(\frac {a_m}{b_n} X^p + Q_1\right)B + R \quad\text{ou encore si}\quad Q =\frac {a_m}{b_n} X^p + Q_1,\quad A = B.Q + R\quad \text{avec}\quad \deg R < \deg B \;</math>.
 
▲Ce qui établit la proposition.
}}
 
'''Exemple''' : Division de <math>X^4-X^3+X^2-X+8</math> par <math>X^2+3X+1</math>
Ligne 100 ⟶ 93 :
| contenu =
Soient <math>A</math> et <math>B</math> deux polynômes.<br />
On dit que <math>B</math> '''divise''' <math>A</math> (ce qu'on note <math>B|A</math> ) s'il existe <math>P\in \mathbb K[X]</math> tel que <math>A = PB</math> :
:<math>B|\mid A : \iff \exists P\in\mathbb K[X] |\quad A = PB</math>.
}}
 
Ligne 107 ⟶ 100 :
| titre = Propriétés
| contenu =
Soient <math>A,B,C\in \mathbb K[X]</math> et <math>\lambda\in\mathbb K</math> .<br />
* <math>A|\lambda \iff A\mathrm{\;constant\;}</math>
* <math>A|B \mathrm{\;et\;} B|C \Rightarrow A|C</math> (''Transitivité'')
* <math>A|B \mathrm{\;et\;} A|C \Rightarrow A|BU+CV\;\forall U,V\in \mathbb K[X]</math>
* <math>\left(A|B \mathrm{\;et\;} B|A\right) \iff \left(\exist \lambda\in \mathbb K | A = \lambda B\right)</math> .
}}
 
Les démonstrations se font comme dans <math>\mathbb Z</math> (voir le cours d'[[arithmétique]]).
 
== PGCD et PPCM ==
=== Définitions ===
{{Définition
| titre = Définitions : PGCD et PPCM de deux polynômes
| contenu =
Soient <math>A,B\in \mathbb K[X]</math> .<br />
* Un '''PGCD (Plus Grand Diviseur Commun)''' de <math>A</math> et <math>B</math> est un polynôme <math>D</math> qui divise <math>A</math> et <math>B</math> et tel que tout diviseur commun à <math>A</math> et <math>B</math> divise <math>D</math> (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") .
* Un '''PPCM (Plus Petit Commun Multiple)''' de <math>A</math> et <math>B</math> est un polynôme <math>M</math> qui est divisible par <math>A</math> et <math>B</math> et tel que tout multiple commun à <math>A</math> et <math>B</math> soit divisible par <math>M</math> (c'est donc le "plus petit" au sens de la relation d'ordre "divise") .
Ligne 131 ⟶ 124 :
* Comme dans <math>\mathbb Z</math>, deux polynômes sont dits '''premiers entre eux''' si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).
 
=== Algorithme d'Euclide ===
Il est le même que dans <math>\mathbb Z</math>. On établit le Lemme d'Euclide :
 
Ligne 137 ⟶ 130 :
| titre = Lemme d'Euclide
| contenu =
Soient <math>A,B\in \mathbb K[X]</math>. Alors <math>\forall P,Q\in\mathbb K[X]</math>, si <math>A = BP+Q</math> on a :
:<math>\operatorname{pgcd}(A;B) = \operatorname{pgcd}(B;Q)</math>.
}}
Ligne 156 ⟶ 149 :
}}
 
On en déduit l'Algorithmealgorithme d'Euclide :
 
Soient <math>(A,B)\in (\mathbb K[X])^{2}</math> tels que <math>\deg A>\deg B</math><br />.
{| border="1" align="center" | valign="center"
! Opération !! Reste <math>R</math> !! Commentaires
Ligne 179 ⟶ 172 :
|}
 
== Théorèmes d'Arithmétique arithmétique ==
Ces Théorèmesthéorèmes se démontrent comme dans <math>\mathbb Z</math> .
 
{{Théorème
| titre = Théorème de Bézout
| contenu =
* <math>\forall A,B\in \mathbb K[X]\, , quad\exists U,V\in \mathbb K[X] |\quad AU+BV = \operatorname{pgcd}(A,B)</math> .
* <math>\operatorname{pgcd}(A;B) = 1 \iff \left(\exists U,V \in \mathbb K[X] |\quad AU+BV = 1\right)</math>.
}}
 
Ligne 192 ⟶ 185 :
| titre = Théorème de Gauss
| contenu =
Soient <math>A,B,C\in \mathbb K[X]</math>.<br />
 
Si <math>A|\mid BC</math> et <math>\operatorname{pgcd}(A;,B) = 1</math> , alors <math>A|\mid C</math> .
}}
 
== Polynômes premiers et irréductibles ==
 
{{Définition
| titre = Définition : Polynômes premiers et irréductibles
| contenu =
Soit <math>P\in \mathbb K[X]</math> non constant.
* Le polynôme <math>P</math> est dit '''irréductible''' si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme <math>\lambda P (\mathrm{\;avec\;} \lambda\in \mathbb K)</math>.
* Le polynôme <math>P</math> est dit '''premier''' si :
*:<math>\forall A,B\in \mathbb K[X],\quad P|\mid AB \Rightarrow \left(P|A\mid A\mathrmtext{\; ou\;} }P|\mid B\right)</math>.
}}
 
Ligne 212 ⟶ 206 :
}}
 
On se permet ainsi de confondre les deux notions. La démonstration se fait comme dans <math>\mathbb Z</math> .
 
On démontre aussi :
{{Théorème
| contenu =
<math>\mathbb K[X]</math> est un anneau '''factoriel''' ; cela signifie que, comme dans <math>\mathbb Z</math> , tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près.
}}
 
== Idéaux de lK''K''[''X''] ==
La définition d'un idéal est donnée dans [[Anneau (mathématiques)|le cours sur les anneaux]].
 
{{Théorème
| contenu =
<math>\mathbb K[X]</math> est un anneau '''principal''', ce qui signifie que tout idéal y est principal : plus précisément, si <math>I</math> est un idéal de <math>\mathbb K[X]</math> , alors :
:<math>\exists! P\in \mathbb K[X], I = (P) = \{PQ|\mid Q\in\mathbb K[X]\}</math>.
}}
 
Ligne 232 ⟶ 226 :
| contenu =
 
Soit <math>I\ </math> un idéal de <math>\mathbb K[X]</math>.
 
Notons <math> n=\min \{ deg(P) |\mid P \in I, P \neq 0 \} </math>
(ce minimum existe car l’ensemble <math> \{ deg(P) |\mid P \in I, P \neq 0 \} </math> est une partie de <math> \mathbb N\ </math> minorée par 0).
Enfin, notons <math> I_{min} </math> un polynôme unitaire appartenant à <math>I</math> tel que <math> deg(I) = n </math>.
 
On a de manière évidente, par définition d'un idéal et comme <math> I_{min} \in I </math>, <math> (I_{min}) \subset I</math>.
Réciproquement, soit <math> Q \in I </math>, l’existence de la division euclidienne de <math>Q </math> par <math> I_{min} </math>, entraîne celle d'un polynôme <math>R= Q- I_{min}X, X \in \mathbb K[X]\ </math> avec <math>deg(R) < n </math>.
 
Ce polynôme vérifie <math>R \in I</math>, comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par définition de n, la condition <math> deg(R) < n </math> implique <math>R=0 </math> et <math> deg(R) = -\infty </math>.
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