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{{Démonstration déroulante
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L'idéal <math>\{0\}</math> est engendré par le polynôme nul.
Soit maintenant <math>I</math> un idéal non nul de <math>K[X]</math>. Soit, parmi les éléments non nuls de <math>I</math>, un polynôme <math>B</math> de degré minimum.
NotonsComme <math> n=B\minin \{I</math>, deg(P)\midpar Pdéfinition \ind'un Iidéal, <math> P(B) \neq 0subset \}I</math> .
(ce minimum existe car l’ensemble <math> \{ deg(P)\mid P \in I, P \neq 0 \} </math> est une partie de <math>\N</math> minorée par 0).
Enfin, notons <math> I_{min} </math> un polynôme unitaire appartenant à <math>I</math> tel que <math> deg(I) = n </math>.
OnRéciproquement, asoit de<math>A\in manièreI évidente,</math>. parPar définitiondivision d'uneuclidienne idéalde et<math>A</math> commepar <math>B</math>, I_{min}il existe <math>Q,R\in I K[X]</math>, tels que <math>A=BQ+R</math> et <math>\deg(I_{min}R) <\subset Ideg(B)</math>.
Réciproquement, soit <math> Q \in I </math>, l’existence de la division euclidienne de <math>Q </math> par <math> I_{min} </math>, entraîne celle d'un polynôme <math>R= Q- I_{min}X, X \in K[X]\ </math> avec <math>deg(R) < n </math>.
CeLe polynôme vérifie <math>R=A-BQ</math> \inappartient à <math>I</math>, comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par définitionchoix de n<math>B</math>, la condition <math> \deg(R) < n \deg(B)</math> implique <math>R=0 </math> etdonc <math> deg(R) A= -BQ\infty in(B)</math>.
Ceci prouve que <math>I\subset(B)</math> donc finalement, <math>I=(B)</math>.
Ainsi:
<math>Q \in (I_{min}) </math>.
D'où l’existence d'un tel polynôme.
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