« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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→Exercice 7 : +1 : cercle de convergence de la série log |
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Ligne 125 :
{{Solution|contenu=
D'après les hypothèses, la suite <math>(a_n)</math> admet une limite finie <math>a</math> et la suite des sommes partielles de la série <math>\sum b_n</math> est bornée. D'après le test de Dirichlet (corollaire du critère d'Abel), la série <math>\sum\left(a_n-a\right)b_n</math> est convergente. La série <math>\sum ab_n</math> l'étant également, leur somme l'est.
}}
==Exercice 8==
Démontrer que pour tout nombre complexe <math>z\ne-1</math> de module <math>1</math>, la série <math>\ln\left(1+z\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-z)^n}n</math> converge.
{{Solution|contenu=
Le critère d'Abel (ou même le critère de Dirichlet, qui en est un cas particulier) s'applique car :
*la suite <math>\left(\frac1n\right)</math> est monotone et de limite nulle ;
*la série <math>\sum(-z)^n</math> a ses sommes partielles bornées : <math>\left|\sum_{n=1}^N(-z)^n\right|=\left|-z\,\frac{1-(-z)^N}{1+z}\right|\le\frac2{|1+z|}</math>.
}}
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