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}}
(C'est en particulier le cas si l'équation est homogène : <math>c=0</math>.)
{{Exemple|titre=Exemple en physique : vitesse terminale|contenu=
Considérons un objet de masse ''m'' en chute libre.
Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :
* le poids : <math>P = ...</math> ;
* le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse ''v''.
*:Le coefficient de frottement est noté ''h'', donc
*:<math>F = ...</math>.
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
:<math>...=...</math>
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
{{Solution
| contenu =
* Le poids : <math>P = m\times g</math>.
* Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse ''v'', le coefficient de frottement est noté ''h'', donc
*:<math>F = -h\times v</math>.
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
:<math>mv' = -hv + mg </math>.
}}
En supposant que l’objet est lâché sans vitesse initiale, l'objectif est de donner la solution <math>v(t)</math> exprimant la vitesse du corps en fonction du temps ''t''. Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
:<math>...= 0</math>.
La solution est, d’après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :
:<math>v(t) = ...</math>.
Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire <math>v(0) = ...</math>. Cela donne pour la solution générale :
:<math>...=...</math>.
La solution finale au problème est donc :
:<math>v(t)=...</math>.
{{Solution
| contenu =
Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
:<math>v' + \frac hmv - g = 0</math>
La solution est, d’après le rappel précédent, une fonction de la forme :
:<math>v = Ae^{-\frac hmt} + \frac{gm}h</math>.
Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre ''A'', qui doit alors vérifier :
:<math>0 = A + \frac{gm}h</math>.
La solution finale au problème est donc :
:<math>v \left( t \right) = \frac{gm}h\left( 1 -\operatornam e^{-\frac hmt} \right)</math>.
}}
Application numérique : tracer ''v'' en fonction de ''t'' pour <math>m=0{,}00416,h=3{,}4\times 10^{-6},g=9{,}81</math>.
}}
=== Remarque ===
Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si ''a'' et ''b'' sont réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque <math>t \to \infty</math>. Si ''a'' et ''b'' sont réels de signe opposé, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers <math>\pm\infty</math>.
Les solutions sont, d’après la formule générale, de la forme :
:<math>v(t) = \left[ A + \int_0tint_0^t\frac{F_0}{m(s)} \sin(\omega_0 s)\operatorname e^{+\Phi\left(s\right)}\, \mathrm ds \right]\operatorname e^{- \Phi \left( t \right)}</math>
avec
donc :
:<math>v(t) = - Am(t) - F_0 \int_{0}^{t} \sin(\omega_0 s) m(s)\, \mathrm ds </math>. ▼
▲<math>v(t) = - Am(t) - F_0 \int_{0}^{t} \sin(\omega_0 s) m(s)\, \mathrm ds </math>.
On note ''v''₀ la vitesse à l'origine des temps, alors, trivialement, ''A = -v''₀. Pour conserver l'homogénéité, indiquons toutefois la masse ''m''₀ = 1. La solution est donc :
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