« Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires » : différence entre les versions
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: '''2.2.''' On dit que <math>\alpha</math> est une racine de <math>P</math> multiplicité <math>{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</math> si, et seulement si, <math>P(\alpha) = P^\prime (\alpha) = ... = P^{(n-1)} (\alpha) = 0</math> et <math>P^{(n)} \neq 0</math>.
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=== Exercice 1 : décomposition en éléments simples ===
{{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
'''1.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^2+z+1}{\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)}</math>.
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a <math>F\left(z\right) = T + \frac{a}{z-1} + \frac{b}{(z-1)^2} + \frac{c}{z-2}</math>.
:On pose <math>P=z^2+z+1</math> et <math>Q=\left(z-1\right)^2\left(z-2\right)</math>.
:On a <math>\deg (P) < \deg(Q)</math>, donc <math>T = 0</math>.
:On a ensuite <math>F(z) (z-1)^2 (z-2) = \frac{a (z-1)^2 (z-2)}{z-1} + \frac{b (z-1)^2 (z-2)}{(z-1)^2} + \frac{c (z-1)^2 (z-2)}{z-2}</math> soit <math>z^2+z+1 = a(z-1)(z-2) + b(z-2) + c(z-1)^2</math>.
:En posant <math>z=2</math> on trouve que <math>c = 7</math> ; en posant <math>z=1</math> on trouve que <math>b = -3</math>.
:Avec <math>c = 7</math> et <math>b = -3</math> dans l’équation, on trouve que <math>a = -6</math>.
:D’où <math>F\left(z\right) = - \frac{6}{z-1} - \frac{3}{(z-1)^2} + \frac{7}{z-2}</math>.
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