« Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires » : différence entre les versions
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Ligne 129 :
:Avec <math>c = 7</math> et <math>b = -3</math> dans l’équation, on trouve que <math>a = -6</math>.
:D’où <math>F\left(z\right) = - \frac{6}{z-1} - \frac{3}{(z-1)^2} + \frac{7}{z-2}</math>.
'''2.'''
:On a <math>F\left(z\right)=\frac{z^3}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}</math>.
:D’après le théorème de la décomposition en éléments simples, on a <math>F\left(z\right) = T + \frac{a}{z-1} + \frac{b}{z-2}</math>.
:On pose <math>P=z^3</math> et <math>Q=\left(z-1\right)\left(z-2\right)</math>.
:On remarque que <math>\deg (P) > \deg(Q)</math>.
:En effectuant la divsion euclidienne <math>\frac{P}{Q}</math>, on obtient le quotient <math>z+3</math>.
:Donc <math>T=z+3</math>.
:On a <math>F\left(z\right)\left(z-1\right)\left(z-2\right) = T\left(z-1\right)\left(z-2\right) + \frac{a\left(z-1\right)\left(z-2\right)}{z-1} + \frac{b\left(z-1\right)\left(z-2\right)}{z-2}</math>, soit <math>z^3 = a(z-2) + b(z-1)</math>.
:En posant <math>z = 2</math> on obtient <math>b=8</math> ; en posant <math>z=1</math>, on obtient <math>a=-1</math>.
:D’où <math>F\left(z\right)=z + 3 - \frac{1}{z-1} + \frac{8}{z-2}}
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