« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions

{{Exemple

| titre = Exemple : Topologie induite

Soit <math>X</math> une partie d'un espace topologique <math>E</math>. Les '''traces''' sur <math>X</math> des ouverts de <math>E</math>, c'est-à-dire les ensembles de la forme <math>X \cap O</math> où <math>O</math> est un ouvert de <math>E</math>, constituent une topologie sur <math>X</math> appelée '''topologie induite'''. L'ensemble <math>X</math>, muni de cette topologie, est appelé un sous-espace (topologique) de <math>E</math>.

{{Attention

| titre = Exemple : Topologie de la convergence uniforme

| contenu =

L’analyse fonctionnelle, quant à elle, a pour cadre les espaces fonctionnels, qui sont des espaces vectoriels de dimension infinie, munis d’une topologie. Par exemple, pour tout ensemble <math>X</math>, on peut définir une topologie sur l'espace vectoriel des applications bornées de <math>X</math> dans <math>\R</math>, en décrétant qu'une partie <math>V</math> est un voisinage de <math>f</math> s'il existe <math>\varepsilon>0</math> tel que <math>V</math> contienne toutes les fonctions <math>g:X\to\R</math> vérifiant : <math>\forall x\in X\quad|f(x)-g(x)|\le\varepsilon</math>. Cette topologie se nomme la '''topologie de la convergence uniforme''' sur cet espace. On la généralisera au chapitre « [[../Espace métrique/]] ».

}}