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Selon le principe de Huygens-Fresnel, chaque point de la surface d'ouverture se comporte comme une source ponctuelle uniforme. L'expression du champ électrique élémentaire au point <math>B(x,y) </math> en provenance de <math>A(X,Y) </math> est donnée par :

 

</math>.

L'onde arrive au point <math>B(x;y)</math>, éloigné d'une distance <math>\delta</math>, avec un retard <math>\tau

</math>. Le déphasage <math>\varphi </math> entre l'onde au point <math>A </math> et l'onde au point <math>B </math> peut s'exprimer de diverses manières parmi lesquelles : <math>\varphi=\omega \, \tau=\omega\, \frac \delta c=\frac {2\pi} \lambda\, \delta = k\, \delta

|-

| bgcolor="#fff8ff" | <math>\mathrm d \underline E(B)

</math>.

|}

|-

| bgcolor="#fff8ff" | <math>\mathrm d \underline E(x,y)

</math>.

|}

 

 

La puissance totale qui traverse la surface est :

 

:<math>\underline E(B)= \underline e_0 \ \mathcal{F}\{t(X,Y)\}</math>

:<math>\underline e_0

= e_0 \, \mathrm e^{\mathrm i \, \varphi '}

 

:<math>p(0,0)= \frac{e_0^2\,S^2}{2\times 120\pi} \times 1

=p_0 \, S^2

:<math>p(0,0)

--- Poubelle ! ---

 

La puissance rayonnée émise par l'élément de surface au point A :

 

 

L'onde étant supposée sphérique, la densité surfacique de puissance à une distance <math>\delta</math> en provenance de l'élément de surface au point A :

 

:<math>\mathrm d p(\delta)=\frac {\mathrm d P_A}{4.\pi.\delta^2}

 

La densité surfacique de puissance au point B en provenance de l’ensemble de la surface S :

 

=\frac {E^2(B)}{120.\pi}</math>.

 

On peut ainsi mettre en lien les champs électriques efficaces aux points A et B :

 

 

 

=== Coordonnées cartésiennes ===

.Le champ électrique résultant au point <math>B </math> est la somme des champs électriques élémentaires en provenance des points constituant la surface <math>S</math> :

:<math>\underline E(B)

</math>.

 

.Le champ électrique résultant au point <math>B </math> est la somme des champs électriques élémentaires en provenance des points constituant la surface <math>S</math> :

: <math>\underline E(B)

</math>.

 

:<math>\Delta^2=(x-Y)^2+(y-Y)^2 \simeq (x^2-2xX+y^2 -2yY)

</math> ;

</math> ;

:<math>\delta \simeq D+\frac {x^2+y^2} {2D}- \frac {x.X+y.Y} {D}

Le champ électrique élémentaire au point <math>O(x=0,y=0)</math> en provenance de <math>M(X=0,Y=0)</math>s'exprime :

 

\, \mathrm \mathrm e^{-\mathrm i\,k\,D}

\, \mathrm d S

</math>.

 

La densité surfacique de puissance au point <math>B</math> en provenance de l’ensemble de la surface <math>S</math> en supposant <math>D \gg \Delta</math> et en admettant que <math>\delta \simeq D</math>, ce qui revient à négliger l'influence de la différence de distance sur l'intensité :

 

=\frac { E^2(B)}{120.\pi}</math>.

 

On peut ainsi mettre en lien les champs électriques efficaces aux points <math>A</math> et <math>B</math> :

 

 

 

}}

 

L'expression du champ électrique élémentaire au point <math>B(x,y)</math> en provenance de <math>M(X=0,Y=0)</math> est :

 

\ \mathrm e^{-\mathrm i.k.D}

\ \mathrm e^{-\mathrm i.k.\frac{x^2+y^2}{2.D}}

 

:<math>\mathrm d \underline E_A(B)

\ \mathrm e^{-\mathrm i.k.D}

\ \mathrm e^{-\mathrm i.k.\frac{x^2+y^2}{2.D}}

</math>,

:<math>\mathrm d \underline E_A(B)

\ t(X,Y)

\ \mathrm e^{-\mathrm i.k.D}

</math>en V·m^-1·m^-2 :

:<math>\underline e_0

= e_0 \, \mathrm e^{\mathrm i \, \varphi '}

 

:<math>(r-R)^2 = r^2\left(1-\frac R r\right)^2 \simeq r^2\left(1-\frac {2\,R} r\right) \simeq r^2 - 2\,r\,R

</math> ;

</math>

:<math>\delta \simeq D+\frac {r^2} {2D}- \frac {r.R} {D}

</math>

</math>

</math>

 

\ & = \left[ \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j .2\pi. x'. X}}{-\mathrm j .2\pi. x'} \right]_{-{L /2}}^{+{L /2}}

\left[ \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j .2\pi. y'. Y}}{-\mathrm j .2\pi. y'} \right]_{-{H /2}}^{+{H /2}}\\

\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j .\pi. x'. L}-\mathrm{e}^{+\mathrm j .\pi. x'. L}}{-2.\mathrm j}

\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j .\pi. y'. H}-\mathrm{e}^{+\mathrm j .\pi. y'. H}}{-2.\mathrm j}

\\

\frac{\sin(\pi. y'. L)}{\pi.y'}

\\

\\

</math>

}}

</math>.

:<math>\underline E(B)=\underline E(r',\theta')=\iint_S \mathrm d \underline E(B)

</math>

:<math>

Par intégration sur la surface d'ouverture on obtient le champ résultant au point B :

:<math>\underline E(B)=\iint_S \mathrm d \underline E(B)

</math>,

:

 

 

:<math>\underline E(B, \theta' = 0)=\underline E(r',0)=\iint_S \mathrm d \underline E(B)

\int^{\pi} _{-\pi} \int^{d/2} _{0}

</math>.

 

 

:<math>\underline E(r,0)

\int^{d/2} _{0}

2\pi \,J_0 (2\pi \, \frac r {\lambda D}\, R)\, R\, \mathrm dR

de sorte que

:<math>\underline E(B)=\iint_S \mathrm d \underline E(B)

</math>,

:

 

L'éclairement est proportionnel à la densité surfacique de puissance rayonnée :

La fonction de transfert optique est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle spatiale. Attention il faut retomber sur 1 au maximum pour normaliser la fonction.

 

<math>C(f,g)= K\,T\left(X,Y\right)\ast T\left(X,Y\right)</math>

 

 

=== Cas d'une ouverture rectangulaire ===

<math>t(X,Y) = \begin{cases} 1, & \text{si }-\frac L 2\le X\le \frac L 2 \text{ et si }-\frac H 2\le Y\le \frac H 2\\ 0, & \text{sinon } \end{cases}</math>

 

 

 

 

<math>u = f-x</math>, <math>v = g-y</math>

 

 

* Si <math> f + \frac L 2 \le - \frac L 2 \Leftrightarrow f \le-L</math> ou si <math> f - \frac L 2 \geqslant \frac L 2 \Leftrightarrow f \geqslant L</math> ou si

<math>C(f,g)=0</math>

* Si <math> f - \frac L 2 \leqslant - \frac L 2 \Leftrightarrow f \leqslant 0</math>

 

* <math> f + \frac L 2 \geqslant \frac L 2 \Leftrightarrow f \geqslant 0</math>

 

 

 

=== Cas d'une ouverture circulaire ===

 

<math>h(x;y)=\mathcal{F}(p(X;Y))=\int^{H/2}_{-H/2}\left(

\right)

 

<math>h(x;y)=\int^{H/2}_{-H/2}

 

<math>h(x;y)=

 

l'éclairement résultant (toujours dans le cas d'une impulsion)

L'OTF est donnée par la transformée de Fourier de l'éclairement.

 

 

<math>MTF(f_L;f_H)=\mathcal F(|h(x;y)|)\ast \mathcal F(|h(x;y)|)</math>

<math>E(x)=\sin(\omega.x)\ast\Pi_{D/2}(x)</math>

 

</math>

 

 

<math>E(x)=\left[ -\frac 1 \omega \cos \left(\omega.h\right)\right]^{x+D/2}_{x-D/2}</math>

<math>E(x)=-\frac 1 \omega \cos \left(\omega.\left(x+D/2\right)\right)+\frac 1 \omega \cos \left(\omega.\left(x-D/2\right)\right)</math>nt