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| niveau = 13
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{{Wikipédia|Dérivée logarithmique}}
== Exemple ==
On considère des fonctions de la forme :
<math>\ln(u)</math>
où ''<math>u''</math> est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle ''<math>I''</math>. Par exemple, la fonction ''ƒ''<math>f</math> définie par :
:pour tout <math>x\in I,~f(x)=\ln(2x+1)</math>
est la fonction composée :
* de la fonction affine ''<math>u''</math> définie par pour tout <math>x\in I,~u(x)=2x+1</math> ;
* et de la fonction logarithme népérien.
Or, la fonction <math>\ln</math> n'est définie que sur <math>\left]0;,+\infty\right[</math>. Pour que ''<math>f''</math> soit définie en <math>x\in\R</math>, il faut et il suffit que <math>u(x)>0</math>, c'est-à-dire <math>x>-\frac12</math>.
Le domaine de définition de ''ƒ''<math>f</math> est alors <math>I=\left]-\frac12;,+\infty\right[</math>.
Pour calculer <math>f''ƒ'''</math>, on utilise la formule
:pour tout <math>x\in I,~f'(x)=a\cdot f'(ax+b)</math>
Dd'où l’expression de la dérivée de ''ƒ''<math>f</math> :
:pour tout <math>x\in I,~f'(x)=2\cdot\frac1{2x+1}=\frac2{2x+1}</math>.
Ici, <math>u'(x) = a</math>, ; on généralise ce procédé au cas où ''<math>u''</math> n’est pas forcément affine :
{{Théorème
| contenu=Soit une fonction ''ƒ''<math>f</math> définie sur un domaine ''<math>I''</math> par l'expression
:pour tout <math>x\in I,~f(x)=\ln(\left|u(x))\right|</math>
où ''<math>u''</math> est dérivable et strictementnon positivenulle sur ''<math>I''</math>, alors ''ƒ''<math>f</math> est dérivable sur ''<math>I''</math> et
:pour tout <math>x\in\R,~f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>.}}
== Exercices ==
Sans se préoccuper dedu l’intervalledomaine ''<math>I''</math>, dériver les fonctions ''ƒ''<math>f</math> suivantes :
'''1.''' <math>f(x)=\ln(x^2+1)</math>
'''3.''' <math>f(x)=\ln(x^2+2x+1)</math>
'''4.''' <math>f(x)=\ln((\left|\frac{x+1)^2)}{4x-2}\right|</math>
'''5.''' <math>f(x)=-3\ln\left(\frac{x5x^2+2}{4x-2}\right3)</math>
'''6.''' <math>f(x)=\ln(x+2)-3x\cdot\ln(4x-5x^2+3)</math>
'''7.''' <math>f(x)=-3\ln(5x^2+3)</math> ▼
'''8.''' <math>f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3)</math> ▼
{{Solution
* <math>u'(x)=2x</math>
* <math>f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}</math>
'''2.''' <math>f(x)=\ln(2x^3+1)</math>
* <math>u'(x)=6x^2</math>
* <math>f'(x)=\frac{6x^2}{2x^3+1}</math>
'''3.''' <math>f(x)=\ln(x^2+2x+1)</math>
* <math>u(x)=x^2+2x+1</math> ▼* <math>u'(x)=2x+2</math> ▼* <math>f'(x)=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}=\frac2{x+1}</math> ▼
'''4.''' <math>fu(x)=\ln(x^2+2x+1=(x+1)^2)=2\ln|v(x+1)|^2</math> donc <math>f'=2\frac{v'}v</math>.
* <math>uv(x)=x+1</math>
* <math>uv'(x)=1</math>
* <math>f'(x)=\frac2{x+1}</math>
▲*'''4.''' <math> f'(x)=\ln\left|\frac{ 2(x+ 1)2}{ (x+1)^4x-2} =\ frac2{x+1}right|</math>
'''5.''' <math>\ln\leftu(x)=\frac{x+2}{4x-2}=\rightfrac{v(x)}{w(x)}</math> donc <math>f'=\frac{v'}v-\frac{w'}w</math>.
<math>u(x)=\frac{x+2}{4x-2}=\frac{v(x)}{w(x)}</math>
▲* <math> uv(x)=x ^+2 +2x+1</math>
<math>\begin{align}u'(x)&=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{w^2(x)}\\
▲* <math> uv'(x)= 2x+21</math>
&=\frac{1\cdot(4x-2)-(x+2)\cdot4}{(4x-2)^2}\\
* <math> vw(x)=4x-2</math> ▼&=\frac{-10}{(4x-2)^2}
\end{align}* <math>w'(x)=4</math>
<math>\begin{align}f'(x)&=\frac{uv'(x)}{uv(x)}-\frac{w'(x)}{w(x)}\\
&=\frac{-10}{(4x-2)^2}\times\frac{4x-2}{x+2}\\
&=\frac{-10}{(4x-2)(x+2)}\end{align}</math>
'''6.''' <math>f(x)=\ln(x+2)-\ln(4x-2)=\ln(u(x))-\ln(v(x))</math>
* <math>u(x)=x+2</math>
* <math>u'(x)=1</math>
▲* <math>v(x)=4x-2</math>
* <math>v'(x)=4</math>
<math>\begin{align}f'(x)&=\frac{u'(x)}{u(x)}-\frac{v'(x)}{v(x)}\\
&=\frac1{x+2}-\frac4{4x-2}\\
&=\frac{(4x-2)-4(x+2)}{(4x-2)(x+2)}\\
&=\frac{-10}{(4x-2)(x+2)}\\.
\end{align}</math>
▲''' 75.''' <math>f(x)=-3\ln(5x^2+3)</math>
'''7.''' <math>f(x)=-3\ln(5x^2+3)</math>
* <math>u(x)=5x^2+3</math>
* <math>u'(x)=10x</math>
* <math>f'(x)=\frac{-30x}{5x^2+3}</math>
▲''' 86.''' <math>f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3 )=u(x)\cdot v(x)</math>
'''8.''' <math>f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3)=u(x)\cdot v(x)</math>
<math>\begin{align}
&=-3\ln(5x^2+3)-\frac{30x^2}{5x^2+3}
\end{align}</math>}}
{{principe|titre=Morale|contenu=
'''La dérivée logarithmique d'un produit est la somme des dérivées logarithmiques des facteurs''', et l'on a des règles analogues pour un quotient ou une puissance.}}
On peut remarquer d'emblée que les fonctions 3 et 4 sont égales, ainsi que les fonctions 5 et 6.
Ce qui apparaît dans le calcul de la dérivée, c’est qu’il est souvent plus simple de '''développer l’expression au maximum en utilisant les propriétés de ln avant de dériver''' pour éviter des calculs de dérivée parfois (très) lourds.}}
{{Bas de page
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