« Initiation aux probabilités/Probabilité sur un univers » : différence entre les versions

Le chapitre précédent a permitpermis de poser le contexte dans lequel nous allons pouvoir définir, dans ce nouveau chapitre, un nouveau concept mathématique que l'on appelle probabilité.

Si <math>A</math> est un événement et si <math>q</math> est le nombre associé, on notera cette association : <math>p(A)=q</math>. On remarque que cette notation est similaire à celle utiliséutilisée pour les [[Généralités sur les fonctions|fonctions]].

En effet, les événements <math>A</math> et <math>\bar A</math> sont incompatibles et tels que :

<math>p(A)+p(\bar A)=p(A\cup\bar A)=p(\Omega)=1</math>

La définition des probabilités dans des cas concrets sort du cadre des mathématiques. Les mathématiques n'imposent rien d'autre que les trois règles fondamentales précédemment citées. On pourrait donc associéassocier n'importe quel nombre positif aux événements élémentaires pourvu que la somme de ces nombres soit égale à un. Toutefois, on sent bien que le choix de ces nombres doit se baser sur une certaine logique si l'on veut que les calculs ultérieurs soient utiles.

Dans le cas où les événements élémentaires seraient équiprobables, on peut calculer la probabilité d'un événement <math>A</math> en faisant le rapport entre le nombre d'événements élémentaires appartenant à cet événement (qu'on appelle cas favorablefavorables) par le cardinal de <math>\Omega</math> que l'on appelle cas possibles. On obtient alors la formule :

Il est important de bien faire la différence entre une probabilité et une fréquence. Si nous reprenons l'exemple du lancé de dé, nous avons déterminé logiquement que la probabilité d'apparition d'une face particulière est de <math>\frac16</math>. Cela ne signifie pas que la fréquence d'apparition de cette face sera de <math>\frac16</math> lorsqu'on lancera le dé un certain nombre de fois. Il se peut même que la fréquence ne puisse pas être de <math>\frac16</math> si le nombre de lancés n'est pas divisible par '''6'''. Ce qu'on remarque, c'est que plus le nombre de lancerlancés est grand, plus on obtiendra une fréquence proche de la probabilité d'apparition de la face. Par exemple, si on lance le dé '''100''' fois, on obtiendra peut-être '''18''' fois la face '''1''', ce qui nous fait une fréquence de '''0,18''' alors que la probabilité est de <math>\frac16\simeq0,166666\cdots</math>.