« Utilisateur:Ellande/Brouillon6 » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 16 :
</math>,
:
== Diffraction de Fresnel entre deux plans ==
On néglige l'effet du facteur d'oblicité : <math> K(\theta) = 1
</math>. Si l'onde incidente <math> U^'_l (X,Y) = \frac{u_0}{s}\mathrm e^{\mathrm i k s}
Ligne 26 ⟶ 29 :
</math>.
L'approximation de Fresnel consiste à écrire la distance entre les deux points <math>(X,Y)
</math>
</math>
:<math>\delta
\simeq D
+ \frac{\left(x-X\right)^2}{2D}
+ \frac{\left(y-Y\right)^2}{2D}
</math>,
Ce qui amène l'expression
:<math>U_i(x,y)
=- \frac{i}{\lambda}\ \!
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
Ligne 39 ⟶ 47 :
\mathrm e^{\mathrm i.k.\frac{(x-Y)^2+(y-Y)^2}{2D}}
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>,
:<math>U_i(x,y)
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
U^'_l(X,Y) \, h(x-X,y-Y)
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>,
dans laquelle on identifie la ''réponse impulsionnelle en amplitude et'' sa transformée de Fourier
:''<math>h(x,y) = \frac {\mathrm e^{\mathrm i\,kD}} {\mathrm i \, \lambda D}
\ \mathrm e^{\mathrm i.k.\frac{x^2+y^2}{2.D}}
</math>'',
:<math>\hat h(x,y) = \mathcal F \left \{
\frac {\mathrm e^{\mathrm i\,kD}} {\mathrm i \, \lambda D}
\ \mathrm e^{\mathrm i\, \pi \frac{x^2+y^2}{\lambda D}}
Ligne 58 ⟶ 66 :
</math>
:<math>\hat h(x,y) =
\mathrm e^{\mathrm i\,kD}
\mathrm e^{-\mathrm i\,\pi\lambda \left (f_x^2 + f_y^2 \right )}
Ligne 79 ⟶ 86 :
</math>.
:
=== Entre l'objet et la lentille ===
Le champ au niveau de la face d'entrée de la lentille en fonction du champ dans le plan objet est :
: <math>U_l(X,Y)
= \frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_o}}{\mathrm i \,\lambda D_o}\ \!
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
U_o \,
\mathrm e^{\frac{\mathrm i\, k}{2D_o}\left [ (X-a)^2+(Y-b)^2 \right ]}
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>.
Si on considère un seul point source, afin de trouver l'expression de la réponse impulsionnelle en amplitude, le champ <math>U_o
</math> se ramène à un Dirac <math>\delta
</math>centré sur <math>(a,b)
</math> et le champ <math>U_l
</math> devient :
: <math>U_l(X,Y)
= \frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_o}}{\mathrm i \,\lambda D_o}\
\mathrm e^{ \frac{\mathrm i\,k}{2D_o}\left [ (X-a)^2+(Y-b)^2 \right ]}
</math>.
=== Au niveau de la lentille ===
Après le passage de la lentille, on trouve :
: <math> U^'_l(X,Y) = t(X,Y)\ \mathrm e^{\mathrm i\, k n \Delta_0}
\ \mathrm e^{ - \frac {\mathrm i\, k}{2f} \left( X^2+Y^2 \right)} U_l(X,Y)
</math>.
=== Entre la lentille et l'image ===
Ce qui amène l'expression
:<math>U_i(x,y)
=\frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_i}}{\mathrm i \,\lambda D_i}
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
U^'_l\,
\mathrm e^{\frac{\mathrm i\,k}{2D_i}\left [ (x-Y)^2+(y-Y)^2 \right ]}
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>,
=== Entre le plan objet et le plan image ===
En combinant les trois résultats précédents :
:<math>U_i(x,y)
=\frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_i}}{\mathrm i \,\lambda D_i}
\ \frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_o}}{\mathrm i \,\lambda D_o}
\ \mathrm e^{\mathrm i\, k n \Delta_0}
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
t(X,Y)
\ \mathrm e^{ - \frac {\mathrm i\, k}{2f} \left( X^2+Y^2 \right)}
\ \mathrm e^{ \frac{\mathrm i\,k}{2D_o}\left [ (X-a)^2+(Y-b)^2 \right ]}
\ \mathrm e^{\frac{\mathrm i\,k}{2D_i}\left [ (x-Y)^2+(y-Y)^2 \right ]}
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>
:<math>U_i(x,y)
=-\frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_i}
\ \mathrm e^{\mathrm i \, k D_o}
\ \mathrm e^{\mathrm i\, k n \Delta_0}}{\lambda^2 D_i D_o}
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
t(X,Y)
\ \mathrm e^{ \frac {\mathrm i\, k}{2}\left( \frac{1}{D_i} + \frac{1}{D_o} - \frac {1}{f}\right) \left( X^2+Y^2 \right)}
\ \mathrm e^{ \frac {\mathrm i\, k}{2D_i} \left( x^2+y^2 \right)}
\ \mathrm e^{ \frac {\mathrm i\, k}{2D_o} \left( a^2+b^2 \right)}
\ \mathrm e^{ \mathrm i\, k \left [ \left(\frac {a}{D_o}
+ \frac {x}{D_i} \right)X
+ \left(\frac {b}{D_o}
+ \frac {y}{D_i} \right)Y \right ]}
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>
p.104
Ligne 116 ⟶ 198 :
<nowiki>----</nowiki>
== Réponse impulsionnelle pour un objectif ==
La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée
: <math>U_i(x,y)
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
U_o(a,b) \, h(x,y,a,b)
\ \mathrm d a\ \mathrm d b
</math>.
En excluant tout défaut y compris la diffraction, il devrait se former une image absolument identique à l'objet dans un rapport de taille égal au grandissement transversal <math>\gamma_t
</math>: <math>x^\circ = \gamma_t a
</math> et <math>y^\circ = \gamma_t b
</math>. Le champ qui la décrirait serait :
: <math>U_i^\circ(x^\circ, y^\circ) = \frac{1}{|\gamma_t|} U_o\left ( \frac{x^\circ}{\gamma_t}, \frac{y^\circ}{\gamma_t}\right )
</math>.
La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée
: <math>U_i(x,y)
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
U_i^\circ (x^\circ,y^\circ) \, h(x,y,x^\circ,y^\circ)
\ \mathrm d x^\circ\ \mathrm d y^\circ
</math>.
== Au niveau de la lentille ==
| |||