« Utilisateur:Ellande/Brouillon6 » : différence entre les versions
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== Diffraction de Fresnel entre deux plans ==
On <u>néglige l'effet du facteur d'oblicité</u> : <math> K(\theta) = 1
</math>. Si <u>le plan est éclairé par une onde plane de direction normale à la surface</u> alors :
:<math> U_i(x,y) =
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</math>.
L'<u>approximation de Fresnel</u> consiste à écrire la distance entre les deux points <math>(X,Y)
</math> et <math>(x,y)
</math>
Ligne 87 ⟶ 86 :
:
== Réponse impulsionnelle pour un objectif sans aberration ==
La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée
: <math>U_i(x,y)
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
U_o(a,b) \, h(x,y,a,b)
\ \mathrm d a\ \mathrm d b
</math>.
=== Entre l'objet et la lentille ===
Le champ au niveau de la face d'entrée de la lentille en fonction du champ dans le plan objet est :
: <math>U_l(X,Y,a,b)
= \frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_o}}{\mathrm i \,\lambda D_o}\ \!
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
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</math>.
Si <u>on considère un seul point source</u>, afin de trouver l'expression de la réponse impulsionnelle en amplitude, le champ <math>U_o
</math> se ramène à un pic de Dirac <math>\delta
</math> centré sur <math>(a,b)
</math> et le champ <math>U_l
</math> devient :
: <math>U_l(X,Y,a,b)
= \frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_o}}{\mathrm i \,\lambda D_o}\
\mathrm e^{ \frac{\mathrm i\,k}{2D_o}\left [ (X-a)^2+(Y-b)^2 \right ]}
</math>.
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: <math> U^'_l(X,Y) = t(X,Y)\ \mathrm e^{\mathrm i\, k n \Delta_0}
\ \mathrm e^{ - \frac {\mathrm i\, k}{2f} \left( X^2+Y^2 \right)} U_l(X,Y)
</math>.
=== Entre la lentille et l'image ===
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En combinant les trois résultats précédents :
:<math>U_i(x,y,a,b) = h(x,y,a,b)
=\frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_i}}{\mathrm i \,\lambda D_i}
\ \frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_o}}{\mathrm i \,\lambda D_o}
Ligne 147 ⟶ 151 :
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>
:<math>
=-\frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_i}
\ \mathrm e^{\mathrm i \, k D_o}
Ligne 156 ⟶ 160 :
\ \mathrm e^{ \frac {\mathrm i\, k}{2D_i} \left( x^2+y^2 \right)}
\ \mathrm e^{ \frac {\mathrm i\, k}{2D_o} \left( a^2+b^2 \right)}
\ \mathrm e^{ -\mathrm i\, k \left [ \left(\frac {a}{D_o}
+ \frac {x}{D_i} \right)X
+ \left(\frac {b}{D_o}
+ \frac {y}{D_i} \right)Y \right ]}
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>
D'une part, la relation de conjugaison apporte <math>\frac{1}{D_i} + \frac{1}{D_o} - \frac {1}{f}=0</math>, et la formule du grandissement indique <math>\gamma_t = - \frac{D_i}{D_o}</math>.
D'autre part, si on considère que la lentille donne une image convenable (pas trop floue), on peut considérer que les points <math>(a,b)</math>qui ont une contribution significative pour le facteur <math>\frac {k}{2D_o} \left( a^2+b^2 \right)</math> sont tous à proximité du point <math>\left(\frac{x}{\gamma_t},\frac{y}{\gamma_t}\right)</math>qui a la contribution principale. On fera donc l'approximation selon laquelle <math>a \simeq \frac{x}{\gamma_t}</math> et <math>b \simeq \frac{y}{\gamma_t}</math> pour ce facteur. La réponse impulsionnelle devient :
:<math>h(x,y,a,b)
=-\frac{\mathrm e^{\mathrm i \, k D_i}
\ \mathrm e^{\mathrm i \, k D_o}
\ \mathrm e^{\mathrm i\, k n \Delta_0}
\ \mathrm e^{ \frac {\mathrm i\, k}{2D_i} \left( x^2+y^2 \right)}
\ \mathrm e^{ \frac {\mathrm i\, k}{2D_o} \frac{x^2+y^2}{\gamma_t^2}}
}
{\lambda^2 D_i D_o}
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
t(X,Y)
\ \mathrm e^{ -\mathrm i\, k \left [ \left(\frac {-\gamma_t a}{D_i}
+ \frac {x}{D_i} \right)X
+ \left(\frac {-\gamma_t b}{D_i}
+ \frac {y}{D_i} \right)Y \right ]}
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>
Si on ne tient pas compte des divers déphasages la relation devient :
:<math>h(x-\gamma_t a \,, \,y - \gamma_t b)
=\frac{1}
{\lambda^2 D_i D_o}
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
t(X,Y)
\ \frac {\mathrm e^{ -\mathrm i\, k }}{D_i}
\left [ \left( x-\gamma_t a \right)X + \left( y-\gamma_t b \right)Y \right ]
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>,
<center>
{| border="1" cellpadding="10" style="border-collapse:collapse" data-ve-attributes="{"style":"border-collapse:collapse"}"
| bgcolor="#fff8ff" |<math>h(x,y)
=\frac{1}
{\lambda^2 D_i D_o}
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
t(X,Y)
\ \frac {\mathrm e^{ -\mathrm i\, k }}{D_i}
\left ( x X + y Y \right )
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
</math>.
|}
</center>
Fort de ces approximations, la réponse impulsionnelle en amplitude d'une lentille, dans le plan image, et équivalente à la figure de diffraction de Fraunhofer d'une ouverture étudiée en champ lointain.
=== Relation entre image et objet ===
La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée
: <math>U_i(x,y)
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
U_o(a,b) \, h(x,y,a,b)
\ \mathrm d a\ \mathrm d b
</math>.
: <math>U_i(x,y) = U_o(x,y) * h(x,y)
</math>
En excluant tout défaut y compris la diffraction, il devrait se former une image absolument identique à l'objet dans un rapport de taille égal au grandissement transversal <math>\gamma_t
</math>: <math>x^\circ = \gamma_t a
</math> et <math>y^\circ = \gamma_t b
</math>. Le champ qui la décrirait serait :
: <math>U_i^\circ(x, y) = \frac{1}{|\gamma_t|} U_o\left ( \frac{x}{\gamma_t}, \frac{y}{\gamma_t}\right )
</math>
: <math>U_i^\circ(x^\circ, y^\circ) = \frac{1}{|\gamma_t|} U_o\left ( \frac{x^\circ}{\gamma_t}, \frac{y^\circ}{\gamma_t}\right )
</math>.
La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée
: <math>U_i(x,y)
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
U_i^\circ (x^\circ,y^\circ) \, h(x,y,x^\circ,y^\circ)
\ \mathrm d x^\circ\ \mathrm d y^\circ
</math>.
<nowiki>----</nowiki>
p.104
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<nowiki>----</nowiki>
:
== Au niveau de la lentille ==
| |||