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« Utilisateur:Ellande/Brouillon6 » : différence entre les versions

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Ligne 119 :
 
=== Au niveau de la lentille ===
p.97
 
L'épaisseur de la lentille à traverser dépend de la position <math>(X,Y)
</math>:
 
: <math>\Delta = \Delta_0 - \frac{X^2 + Y^2}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)
</math>,
 
qui se traduit dans l'équation de la propagation par la multiplication par un facteur de module unité :
 
: <math> \mathrm e^{\mathrm i\, k n \Delta_0}
\mathrm e^{-\mathrm i\, k (n-1) \frac {X^2+Y^2}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)}
 
 
 
</math>,
 
où on reconnait l'expression de la vergence de la lentille mince si bien que :
 
: <math> \mathrm e^{\mathrm i\, k n \Delta_0}
\mathrm e^{ - \frac {\mathrm i\, k}{2f} \left( X^2+Y^2 \right)}
 
 
 
</math>.
 
Après le passage de la lentille, on trouve :
 
Ligne 124 ⟶ 150 :
\ \mathrm e^{ - \frac {\mathrm i\, k}{2f} \left( X^2+Y^2 \right)} U_l(X,Y)
</math>.
:
 
: ,
 
=== Entre la lentille et l'image ===
Ligne 191 ⟶ 220 :
 
:<math>h(x-\gamma_t a \,, \,y - \gamma_t b)
=-\frac{1}
{\lambda^2 D_i D_o}
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
Ligne 203 ⟶ 232 :
{| border="1" cellpadding="10" style="border-collapse:collapse" data-ve-attributes="{&quot;style&quot;:&quot;border-collapse:collapse&quot;}"
| bgcolor="#fff8ff" |<math>h(x,y)
=-\frac{1}
{\lambda^2 D_i D_o}
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
t(X,Y)
\ \mathrm e^{\frac { -\mathrm i\, k2\pi }{\lambda D_i}
\left ( x X + y Y \right )}
\ \mathrm d X\ \mathrm d Y
Ligne 215 ⟶ 244 :
Fort de ces approximations, la réponse impulsionnelle en amplitude d'une lentille, dans le plan image, et équivalente à la figure de diffraction de Fraunhofer d'une ouverture étudiée en champ lointain.
 
=== RelationFonction entrede imagetransfert eten objetamplitude ===
En introduisant les variable réduites <math>X' = \frac{-X}{\lambda D_i}</math> et <math>Y' = \frac{-Y}{\lambda D_i}</math>, alors <math>\mathrm dX = -\lambda D_iX' </math> il vient :
La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée
 
:<math>h(x,y)
=\gamma_t
\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
t\left(-\lambda D_i X',-\lambda D_i Y' \right)
\ \mathrm e^{\mathrm i\, 2\pi
\left ( x X' + y Y' \right )}
\ \mathrm d X'\ \mathrm d Y'
</math>,
:<math>h(x,y)
=\gamma_t\
\mathcal F^{-1} \left \{ t(-\lambda D_i X',-\lambda D_i Y') \right \}
 
: <math>U_i(x,y)
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
U_o(a,b) \, h(x,y,a,b)
\ \mathrm d a\ \mathrm d b
</math>.
: <math>U_i(x,y) = U_o(x,y) * h(x,y)
</math>
 
La fonction de transfert en amplitude <math>\hat h(f_x,f_y) = \mathcal F \left \{
En excluant tout défaut y compris la diffraction, il devrait se former une image absolument identique à l'objet dans un rapport de taille égal au grandissement transversal <math>\gamma_t
h(x,y)
</math>: <math>x^\circ = \gamma_t a
\right \}
</math> et <math>y^\circ = \gamma_t b
</math>. Le champ qui la décrirait serait :
 
: <math>U_i^\circ(x, y) = \frac{1}{|\gamma_t|} U_o\left ( \frac{x}{\gamma_t}, \frac{y}{\gamma_t}\right )
</math>
: <math>U_i^\circ(x^\circ, y^\circ) = \frac{1}{|\gamma_t|} U_o\left ( \frac{x^\circ}{\gamma_t}, \frac{y^\circ}{\gamma_t}\right )
</math>.
 
:<math>\hat h(f_x,f_y)
La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée
 
: <math>U_i(x,y)
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
h\left(x,y \right)
U_i^\circ (x^\circ,y^\circ) \, h(x,y,x^\circ,y^\circ)
\ \mathrm d xe^{-\circmathrm i\, 2\mathrmpi d y^\circ
\left ( x f_x + y f_y \right )}
</math>.
\ \mathrm d x\ \mathrm d y
</math>,
:<math>\hat h(f_x,f_y)
= \mathcal F \left \{h(x,y)\right \}
= \mathcal F \left \{ \gamma_t \
\mathcal F^{-1} \left \{ t(-\lambda D_i X',-\lambda D_i Y') \right \}
\right \}
 
<nowiki>----</nowiki>
 
p.104
 
Soit le plan objet éclairé par transparence par une onde monochromatique, plane :
: <math> \underline E_o(a,b) = \underline E \ t_o(a,b)
 
 
</math>,
: <math> \hat \underline E_o(f_x,f_y) = \mathcal F \left \{ \underline E_o(a,b) \right \}
 
{| border="1" cellpadding="10" style="border-collapse:collapse" data-ve-attributes="{&quot;style&quot;:&quot;border-collapse:collapse&quot;}"
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\hat h(f_x,f_y) = \gamma_t \ t(-\lambda D_i f_x,-\lambda D_i f_y)
 
</math>
: <math> \hat \underline E_l(f_x,f_y) = \mathcal F \left \{ \underline E_l(X,Y) \right \}
 
 
</math>
: <math> \hat \underline E_l(f_x,f_y)
= \hat \underline E_o(f_x,f_y)
\ \mathrm e^{ - \mathrm i\,\pi \lambda d \left( f_x^2+f_y^2 \right)}
 
 
</math>
 
</math>.
<nowiki>----</nowiki>
|}
 
Pour trouver l'expression de la ''réponse impulsionnelle en amplitude'', on considère un objet dont le champ est défini par un pic de Dirac <math>\delta()
</math>aux coordonnées <math>(a,b)
</math>. Une onde incidente sphérique atteint alors la pupille d'ouverture :
: <math> \underline E_l(X,Y) =
- \frac{i}{\lambda p_o}\ \mathrm e^{\mathrm i \frac {k}{2\,p_o} \left[ (X-a)^2 + (Y-b)^2 \right]}
 
 
</math>,
 
:
<nowiki>----</nowiki>
 
:
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