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K(\theta)\frac{\mathrm e^{\mathrm i k (r+s)}}{rs}
\mathrm d S
</math>,.
 
:
 
== Diffraction de Fresnel entre deux plans ==
Ligne 84 ⟶ 82 :
 
</math>.
 
:
 
== Réponse impulsionnelle pour un objectif sans aberration ==
Ligne 150 ⟶ 146 :
\ \mathrm e^{ - \frac {\mathrm i\, k}{2f} \left( X^2+Y^2 \right)} U_l(X,Y)
</math>.
:
 
: ,
 
=== Entre la lentille et l'image ===
Ligne 282 ⟶ 275 :
</center>
 
== Vrac ==
== Au niveau de la lentille ==
p.97
 
L'épaisseur de la lentille à traverser dépend de la position <math>(X,Y)
</math>:
: <math>\Delta \phi = \Delta0 - \frac{X^2 + Y^2}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)
</math>,
qui se traduit dans l'équation de la propagation par la multiplication par un facteur de module unité :
: <math> \mathrm e^{\mathrm i\, k n \Delta_0}
\mathrm e^{-\mathrm i\, k (n-1) \frac {X^2+Y^2}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)}
 
 
 
</math>,
où on reconnait l'expression de la vergence de la lentille mince si bien que :
: <math> \mathrm e^{\mathrm i\, k n \Delta_0}
\mathrm e^{ - \frac {\mathrm i\, k}{2f} \left( X^2+Y^2 \right)}
 
 
 
</math>.
Le champ après la lentille en fonction du champ avant la lentille :
: <math> \underline E^'_l(X,Y) = t(X,Y)\ \mathrm e^{\mathrm i\, k n \Delta_0}
\ \mathrm e^{ - \frac {\mathrm i\, k}{2f} \left( X^2+Y^2 \right)}\underline E_l(X,Y)
 
 
</math>,
 
<nowiki>----</nowiki>
 
L'amplitude du champ <math>\underline E_i(x,y)
</math>en fonction de la distribution du champ dans le plan objet s'écrit :
: <math>\underline E_i(x,y) = \int^\infty _{-\infty} \int^\infty _{-\infty}
h(a,b,x,y)\ \underline E_o(a,b)
\ \mathrm da
\ \mathrm db
</math>,
où <math>h(a,b,x,y) </math> est la ''réponse impulsionnelle en amplitude :''
: ''<math>h(a,b,x,y)= \frac {A}{\lambda \, D}
\int^\infty _{-\infty} \int^\infty _{-\infty} t(X,Y)
\ \mathrm e^{ - \mathrm i \frac {2\pi}{\lambda D}((x - \gamma_t a)X+(y-\gamma_t b)Y)}
\ \mathrm dX
\ \mathrm dY
</math>.''
<nowiki>----</nowiki>
 
:
 
Appliqué à un système optique objectif et un objet situé à une grande distance <math> s
</math> devant la taille de l'ouverture :
: <math> \underline E(B) =
- \frac{i\,u_0}{\lambda}K(\theta)\frac{\mathrm e^{\mathrm i k s}}{s}
\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{S_0} \!\!
t(X,Y)\,\frac{\mathrm e^{\mathrm i k \delta}}{\delta}
\mathrm d S
</math>,
: <math> \underline E(B) =
- \frac{i}{\lambda} \underline E_i
\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{S_0} \!\!
t(X,Y)\,\frac{\mathrm e^{\mathrm i k \delta}}{\delta}
\mathrm d S
</math>
L'expression du champ électrique élémentaire au point <math>B(x,y) </math> en provenance de <math>A(X,Y) </math><math> A(X,Y)
</math><math>A(X,Y) </math> est donnée par :
: <math>\mathrm d \underline E_A(B)
= \frac {-\mathrm i}{\lambda \, D}
\ \underline E_i
\ t(X,Y)
\ \mathrm e^{-\mathrm i.k.D}
\ \mathrm e^{-\mathrm i.k.\frac{x^2+y^2}{2.D}}
\ \mathrm e^{\mathrm i.k.\frac{x.X+y.Y}{D}}
\ \mathrm d X
\ \mathrm d Y</math>
: <math>\mathrm d \underline E_A(B)
= \frac {A}{\lambda \, D}
\ \underline E_i
\ t(X,Y)
\ \mathrm e^{\mathrm i.k.\frac{x.X+y.Y}{D}}
\ \mathrm d X
\ \mathrm d Y</math>
Par intégration sur la surface de l'obstacle et de son ouverture :
: <math>\underline E(B)=\iint_S \mathrm d \underline E(B)
=\frac {A}{\lambda \, D} \,\underline E_i
\ \int^\infty _{-\infty} \int^\infty _{-\infty} t(X,Y)
\ \mathrm e^{ - \mathrm i \frac {2\pi}{\lambda D}(xX+yY)}
\ \mathrm dX
\ \mathrm dY
</math>
<math>\mathrm d \underline E_A(B)
= \frac 1 D \,\underline E_i
\ t(X,Y)
\ \mathrm e^{-\mathrm i.k.D}
\ \mathrm e^{-\mathrm i.k.\frac{x^2+y^2}{2.D}}
\ \mathrm e^{\mathrm i.k.\frac{x.X+y.Y}{D}}
\ \mathrm d X
\ \mathrm d Y
</math>
 
<math>\underline E(x', y')
=\frac {A}{\lambda \, D} \,\underline E_i \ \mathcal F \{ t(X,Y)\}
= \frac {A}{\lambda \, D} \,\underline E_i \ \int^\infty _{-\infty} \int^\infty _{-\infty} t(X,Y)
\ \mathrm e^{ - \mathrm i \, {2\pi}(x'X+y'Y)}
\ \mathrm dX
\ \mathrm dY
</math>
 
<math>\underline E(- \frac {x}{\lambda D}, - \frac {y}{\lambda D})
=\frac {A}{\lambda \, D} \,\underline E_i \ \mathcal F \{ t(X,Y)\}
= \frac {A}{\lambda \, D} \,\underline E_i \ \int^\infty _{-\infty} \int^\infty _{-\infty} t(X,Y)
\ \mathrm e^{ - \mathrm i \frac {2\pi}{\lambda D}(xX+yY)}
\ \mathrm dX
\ \mathrm dY
</math>+
 
réponse impulsionnelle en amplitude <math>h(x,y) </math> :
: <math>h(x,y)= \frac {A}{\lambda \, D} \ \int^\infty _{-\infty} \int^\infty _{-\infty} t(X,Y)
\ \mathrm e^{ - \mathrm i \frac {2\pi}{\lambda D}(xX+yY)}
\ \mathrm dX
\ \mathrm dY
</math>,
La fonction de transfert en amplitude <math>\hat H(\nu_x,\nu_y)</math> est donnée par la réponse impulsionnelle en amplitude <math>H(x,y) </math> :
: <math>\hat H(\nu_x,\nu_y) = \mathcal F \{ H(x,y) \}</math>,
: <math>\hat H(\nu_x,\nu_y)
= \mathcal F \left \{
e_0 \int \!\!\!\! \int_{S_0} t(X,Y) \mathrm e^{ - \mathrm i \frac {2\pi}{\lambda D}(xX+yY)}
\,\mathrm d X\, \mathrm d Y
\right \}</math>
: <math>\hat H(\nu_x,\nu_y)
= e_0 \, \hat t (- \lambda \, D \, \nu_x, - \lambda \, D \, \nu_y)
</math>
 
== Formulaire ==