« Utilisateur:Ellande/Brouillon6 » : différence entre les versions
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Ligne 65 :
:<math>\hat h(x,y) =
\mathrm e^{\mathrm i\,kD}
\mathrm e^{-\mathrm i\,\pi\lambda \left (
</math>
Ligne 83 :
</math>.
==
=== Réponse impulsionnelle ===
La répartition du champ dans le plan image peut être exprimée
Ligne 92 ⟶ 94 :
</math>.
==== Entre l'objet et la lentille ====
Le champ au niveau de la face d'entrée de la lentille en fonction du champ dans le plan objet est :
Ligne 114 ⟶ 116 :
</math>.
==== Au niveau de la lentille ====
p.97
Ligne 147 ⟶ 149 :
</math>.
==== Entre la lentille et l'image ====
Ce qui amène l'expression
Ligne 158 ⟶ 160 :
</math>,
==== Entre le plan objet et le plan image ====
En combinant les trois résultats précédents :
Ligne 253 ⟶ 255 :
</math>
La fonction de transfert en amplitude <math>\hat h(
:<math>\hat h(
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
h\left(x,y \right)
\ \mathrm e^{-\mathrm i\, 2\pi
\left ( x
\ \mathrm d x\ \mathrm d y
</math>,
:<math>\hat h(
= \mathcal F \left \{h(x,y)\right \}
= \mathcal F \left \{ \gamma_t \
\mathcal F^{-1} \left \{ t(-\lambda D_i X',-\lambda D_i Y') \right \}
\right \}
</math>,
:<math>\hat h(\nu_x,\nu_y) = \gamma_t \ t(-\lambda D_i \nu_x,-\lambda D_i \nu_y)</math>
Compte-tenu de la symétrie des systèmes étudiés, les signes – peuvent être supprimés (toutes les fonctions sont paires).<center>
{| border="1" cellpadding="10" style="border-collapse:collapse" data-ve-attributes="{"style":"border-collapse:collapse"}"
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\hat h(
|}
</center>
=== Fonction de transfert optique ===
== Vrac ==▼
<math>I_i(x,y)
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
I_o(a,b) \, |h(x,y,a,b)|^2
\ \mathrm d a\ \mathrm d b
</math>
<math>I_i(x,y)
=\int^\infty _{-\infty} \! \int^\infty _{-\infty}
I_o(a,b) \, |h(x-\gamma_t a, y -\gamma_t b)|^2
\ \mathrm d a\ \mathrm d b
</math>
La fonction de transfert optique est :
:<math>\hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y)
= \mathcal F \left \{|h(x,y)|^2\right \}
= \mathcal F \left \{h(x,y)\right \} * \mathcal F \left \{h(x,y)\right \}
= \hat h(\nu_x,\nu_y)*\hat h(\nu_x,\nu_y)
</math>
:<math>\hat \mathcal H(\nu_x,\nu_y)
= \gamma_t^2 \ t(-\lambda D_i \nu_x,-\lambda D_i \nu_y)*t(-\lambda D_i \nu_x,-\lambda D_i \nu_y)
</math>
La fonction de transfert optique normalisée est :
:<math>\hat \mathcal H_1(\nu_x,\nu_y)
= \frac {\mathcal F \left \{|h(x,y)|^2\right \}}{\int\!\int^\infty_{-\infty}|h(x,y)|^2 \mathrm dx\mathrm dy}
</math>
=== Ouverture circulaire ===
<math>t(X,Y)
=\begin{cases} 1, & \text{si } \sqrt{X^2 + Y^2}\le \frac d 2
\\ 0, & \text{sinon } \end{cases}</math>
On observe que la fonction de transfert sera nulle si <math>\sqrt{\nu_x^2 + \nu_y^2}\le \nu_c =\frac d {\lambda f} = \frac 1 {\lambda N}
</math>. Au vu de la symétrie de révolution, on peut se contenter d'étudier sur axe quelconque.
L’auto-convolution peut être calculée en déterminant la surface d'intersection de deux disques de rayons <math>\frac {\nu_c}{2} =\frac d {\lambda f} = \frac 1 {2\lambda N}
</math>. <math>\nu_c
</math> est nommée fréquence de coupure, ce qui correspond au fréquences pour lesquelles les deux disques ne s'interceptent pas.
: <math>A = 2\left(\frac{\theta \nu^2_c} 2 - \nu_c \cos\theta \, \nu_c \sin \theta \right)</math>
: <math>A = 2\, \nu^2_c \left(\frac{\theta} 2 - \frac{\sin 2\theta } 2 \right)</math>
: <math>A = 2\, \nu^2_c \left(\frac{\theta} 2 - {\cos\theta \sin \theta } \right)</math>
Au maximum, l'aire vaut <math>A_\mathrm{max} = \pi\, \nu^2_c</math>.
: <math>\frac {\nu}{\nu_c} = \cos \theta</math> et <math>\sin^2\theta = 1 - \left(\frac{\nu}{\nu_c}\right)^2</math>
: <math>A = 2\, \nu^2_c \left(\frac{\arccos (\nu/\nu_c)} 2 - {\frac{\nu}{\nu_c} \sqrt {1-\left(\frac{\nu}{\nu_c}\right)^2} } \right)</math>
En divisant par <math>A_\mathrm{max}</math> pour obtenir une valeur maximale de 1 = 100 %, on obtient :
: <math>\hat \mathcal H_1 (\nu) = \frac{2}{\pi} \left(\frac{\arccos (\nu/\nu_c)} 2 - {\frac{\nu}{\nu_c} \sqrt {1-\left(\frac{\nu}{\nu_c}\right)^2} } \right)</math>.
=== Ouverture rectangulaire ===
<math>t(X,Y) =\Pi_{{L} /2 , H/2}(X,Y)
=\begin{cases} 1, & \text{si }-\frac L 2\le X\le \frac L 2 \text{ et si }-\frac H 2\le Y\le \frac H 2\\ 0, & \text{sinon } \end{cases}</math>
== Formulaire ==
| |||