« Calcul différentiel/Recherches d'extrema » : différence entre les versions
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→Condition suffisante d’existence d'un extremum : début des extrema liés |
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On a donc un minimum local strict.
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==Extrema liés==
{{Théorème|contenu={{Wikipédia|Multiplicateur de Lagrange}}
Soient ''E'' et ''F'' deux espaces de Banach, ''U'' un ouvert de ''E'', <math>g:U\to F</math> et <math>f:U\to\R</math> deux fonctions de classe C{{exp|1}}, et <math>a\in U</math> tel que :
*<math>g\left(a\right)=0</math> ;
*la restriction de <math>f</math> à <math>g^{-1}\left(\{0\}\right)</math> admet un extremum local en <math>a</math> ;
*l'application linéaire <math>\mathrm dg_a:E\to F</math> est surjective.
Alors, il existe une forme linéaire continue <math>\lambda:F\to\R</math> — appelée multiplicateur de Lagrange — telle que
:<math>\mathrm df_a=\lambda\circ\mathrm dg_a</math>.
}}
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