« Calcul différentiel/Recherches d'extrema » : différence entre les versions

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:<math>\mathrm df_a=\sum_{j=1}^m\lambda_j\mathrm d\left(g_j\right)_a</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=<!--inspiré par exemple de https://books.google.fr/books?id=C7jZc5TcFb4C&pg=PA78-->
Soient <math>F</math> le noyau de <math>\mathrm dg_a</math> et <math>G</math> un supplémentaire (de dimension <math>m</math> puisque <math>\mathrm dg_a</math> est surjective). Alors, <math>F</math> et <math>G</math> sont [[w:Sous-espace supplémentaire#Supplémentaire topologique|supplémentaires topologiques]], c'est-à-dire que la bijection linéaire <math>F\times G\to E,\;\left(x,y\right)\mapsto x+y</math> est [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|continue ainsi que sa réciproque]]. On peut donc sans perte de généralité supposer que <math>E=F\times G</math>. D'après le théorème des fonctions implicites, il existe alors dans <math>E=F\times G</math> un ouvert <math>V\times W\ni a=\left(b,c\right)</math>, et une application <math>h:V\to W</math> de classe C{{exp|1}}, tels que
:<math>\forall\left(x,y\right)\in V\times W\quad g\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow y=h\left(x\right)</math>.
L'application <math>k:V\to\R,\,x\mapsto f\left(x,h\left(x\right)\right)</math> admet un extremum local en <math>b</math> donc <math>\mathrm dk_b=0</math>, c.-à-d. <math>\forall z\in F\quad0=\mathrm df_a(z,\mathrm dh_b(z))=\mathrm df_a(z,0)</math>. Autrement dit, <math>\mathrm df_a</math> est nulle sur l'intersection des noyaux des formes linéaires <math>\mathrm d\left(g_j\right)_a</math>, [[w:Forme linéaire#Propriétés|ce qui signifie qu'elle est combinaison linéaire de ces formes]].