« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions

La surface <math>S</math> a pour équation <math>f=0</math> où <math>f</math> est définie par <math>f\left(x,y,z\right)=xy-z^3</math>. Pour tout point <math>M_0=\left(x_0,y_0,z_0\right)\in S</math>, le plan tangent <math>T_{M_0}S</math> est le plan contenant <math>M_0</math> et normal au vecteur gradient <math>\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right)=\left(y_0,x_0,-3z_0^2\right)</math> (sauf au point singulier <math>O=\left(0,0,0\right)</math>, en lequel il n'y a pas de plan tangent). Il a donc pour équation

<math>y_0\left(x-x_0\right)+x_0\left(y-y_0\right)-3z_0^2\left(z-z_0\right)=0</math>, qui se réécrit

La droite <math>D</math> peut être paramétrée par exemple par <math>z</math> :

:<math>D=\{\left(2,3z-3,z\right)\mid z\in\R\}</math>.

:<math>\begin{align}D\subset T_{M_0}S&\Leftrightarrow\forall z\in\R\quad2y_0+x_0\left(3z-3\right)-3z_0^2z=-z_0^3\\&\Leftrightarrow\forall z\in\R\quad z\left(3x_0-3z_0^2\right)+\left(2y_0-3x_0+z_0^3\right)=0\\&\Leftrightarrow x_0=z_0^2\quad\text{et}\quad2y_0-3x_0+z_0^3=0\\&\Leftrightarrow x_0=z_0^2\text{ et }y_0=z_0^2\frac{3-z_0}2.\end{align}</math>