« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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#:Dans les deux cas, on peut donc conclure : <math>p=q</math>.
#Si <math>E</math> est de dimension finie <math>n</math>, on ne peut pas avoir <math>\{0\}\subsetneq\ker\left(\varphi\right)\subsetneq\ker\left(\varphi^2\right)\subsetneq\dots\subsetneq\ker\left(\varphi^{n+1}\right)</math>, car <math>\dim\left(\ker\left(\varphi^{n+1}\right)\right)\le n</math>. Donc la suite des noyaux stationne à partir d'un rang <math>p\le n</math>. On démontre de même que la suite des images stationne à partir d'un rang <math>q\le n</math>.
}}
== Exercice 2-5 ==
Soient <math>\psi,\varphi_1,\dots,\varphi_n</math> des formes linéaires sur un <math>K</math>-espace vectoriel <math>E</math>, telles que <math>\ker\psi</math> contient l'intersection des <math>\ker\varphi_i</math>. Montrer que <math>\psi</math> est une combinaison linéaire des <math>\varphi_i</math>.
{{Solution|contenu=
Soit <math>F</math> l'image de l'application linéaire <math>E\to K^{n+1},\;x\mapsto\left(\psi(x),\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)\right)</math>.
Le vecteur <math>e:=\left(1,0,\dots,0\right)</math> n'appartient pas à <math>F</math>, donc il existe une forme linéaire <math>f</math> sur <math>K^{n+1}</math>, nulle sur <math>F</math> et telle que <math>f(e)=1</math> (on peut en construire une par exemple en choisissant une base <math>B</math> de <math>F</math>, en complétant <math>B\cup\{e\}</math> en une base <math>B'</math> de <math>K^{n+1}</math>, et en prenant pour <math>f</math> la forme qui à tout vecteur de <math>K^{n+1}</math> associe sa coordonnée sur <math>e</math> dans sa décomposition sur la base <math>B'</math>).
Soient <math>\mu,\lambda_1,\dots,\lambda_n</math> les scalaires tels que <math>f</math> s'écrit <math>f\left(k,k_1,\dots,k_n\right)=\mu k+\lambda_1k_1+\dots+\lambda_n k_n</math>.
Alors, <math>\forall x\in E\quad 0=f\left(\psi(x),\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)\right)=\mu\psi(x)+\lambda_1\varphi_1(x)+\dots+\lambda_n\varphi_n(x)</math> et <math>\mu=f(e)=1</math>, donc <math>\psi=-\sum\lambda_i\varphi_i</math>.
}}
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