« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions

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→‎Exercice 1 : ajouté 1 question : position de la surface par rapport au plan tangent
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==Exercice 1==
#Déterminer les points de la surface <math>S</math> d'équation <math>xy=z^3</math> dont le plan tangent contient la droite d'équations <math>x=2,\;y-3z+3=0</math>.
#En tout point <math>M_0=\left(x_0,y_0,z_0\right)\in S</math> tel que <math>x_0y_0\ne0</math>, déterminer la position de la surface par rapport à son plan tangent.
{{Solution|contenu=
La surface <math>S</math> a pour équation <math>f=0</math> où <math>f</math> est définie par <math>f\left(x,y,z\right)=xy-z^3</math>.
#Pour tout point <math>M_0=\left(x_0,y_0,z_0\right)\in S</math>, le plan tangent <math>T_{M_0}S</math> est le plan contenant <math>M_0</math> et normal au vecteur gradient <math>\nabla f\left(x_0,y_0,z_0\right)=\left(y_0,x_0,-3z_0^2\right)</math> (sauf au point singulier <math>O=\left(0,0,0\right)</math>, en lequel il n'y a pas de plan tangent). Il a donc pour équation <math>y_0\left(x-x_0\right)+x_0\left(y-y_0\right)-3z_0^2\left(z-z_0\right)=0</math>, qui se réécrit <math>y_0x+x_0y-3z_0^2z=2x_0y_0-3z_0^3</math>. Donc<br><math>T_{M_0}S=\{\left(x,y,z\right)\in\R^3\mid y_0x+x_0y-3z_0^2z=-z_0^3\}</math>.<br>La droite <math>D</math> peut être paramétrée par exemple par <math>z</math> :<br><math>D=\{\left(2,3z-3,z\right)\mid z\in\R\}</math>.<br>Par conséquent,<br><math>\begin{align}D\subset T_{M_0}S&\Leftrightarrow\forall z\in\R\quad2y_0+x_0\left(3z-3\right)-3z_0^2z=-z_0^3\\&\Leftrightarrow\forall z\in\R\quad z\left(3x_0-3z_0^2\right)+\left(2y_0-3x_0+z_0^3\right)=0\\&\Leftrightarrow x_0=z_0^2\quad\text{et}\quad2y_0-3x_0+z_0^3=0\\&\Leftrightarrow x_0=z_0^2\text{ et }y_0=z_0^2\frac{3-z_0}2.\end{align}</math><br>On a alors <math>0=x_0y_0-z_0^3=z_0^4\frac{3-z_0}2-z_0^3=\frac{z_0^3}2\left(3z_0-z_0^2-2\right)=-\frac{z_0^3}2\left(z_0-1\right)\left(z_0-2\right)</math> donc (puisque <math>M_0\ne O</math>)
#:<math>M_0=\left(1,1,1\right)\quad\text{ou}\quad\left(4,2,2\right)</math>.