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« Équation et inéquation/Exercices/Équations produit » : différence entre les versions

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Ligne 1 :
<noinclude>{{Exercice
| idfaculté = mathématiques
| numéro = 2
Ligne 6 :
| suivant = [[../Résolution d'équations par factorisation/]]
| niveau = 11
}}
}}</noinclude>
 
{{Clr}}
 
== Équations produit ==▼
 
Résoudre dans <math>\R</math> les équations suivantes.
 
▲== Équations produit ==
a) #<math>\left(2x+3\right)\left(1-x\right)=0</math>.
b) #<math>2x\left(x-1\right)^2=0</math>.▼
c) #<math>\left(5+x\right)\left(5-x\right)=0</math>.▼
#<math>\left(\frac23x-\frac54\right)\left(\frac32x-5x\right)=0</math>.
e) #<math>\left(x-\sqrt{2}sqrt2\right)\left(x\sqrt{2}sqrt2-1\right)=0</math>.▼
{{Solution|contenu=▼
#<math>\left(2x+3\right)\left(1-x\right)=0\Leftrightarrow 2x+3=0\text{ ou }1-x=0\Leftrightarrow x\in\left\{-\frac32,1\right\}</math>.
#<math>x\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x=0\text{ ou }x-1=0\Leftrightarrow x\in\{0,1\}</math>.
#<math>\left(5+x\right)\left(5-x\right)=0\Leftrightarrow 5+x=0\text{ ou }5-x=0\Leftrightarrow x\in\{-5,5\}</math>.
#<math>\left(\frac23x-\frac54\right)\left(\frac32x-5x\right)=0\Leftrightarrow\frac23x-\frac54=0\text{ ou }\frac32x-5x=0\Leftrightarrow x\in\left\{\frac{15}8,0\right\}</math>.
#<math>\left(x-\sqrt2\right)\left(x\sqrt2-1\right)=0\Leftrightarrow x-\sqrt2\text{ ou }x\sqrt2-1=0\Leftrightarrow x\in\left\{\sqrt2,\frac1\sqrt2\right\}</math>.
}}
 
== Équations carrées ==▼
{{Clr}}
(C'est un cas particulier d'« équation produit ».)
 
a) #<math>\left(x+\frac{2}{3}frac23\right)^2=0</math>.▼
 
b) #<math>x2\left(x-1\right)^2=0</math>.
c) #<math>\left(\frac{x}{5} x5-2\right)x^2=0</math>.▼
 
{{Solution| contenu=▼
▲c) <math>(5+x)(5-x)=0</math>
#<math>\left(x+\frac23\right)^2=0\Leftrightarrow x=-\frac23</math>.
 
d) #<math>2\left(\frac{2}{3}x-1\frac{5}{4}right)(^2=0\frac{3}{2}Leftrightarrow x-5x)=01</math>.
#<math>\left(\frac x5-2\right)x^2=0\Leftrightarrow \frac x5-2\text{ ou }x^2=0\Leftrightarrow x\in\{10,0\}</math>.
 
}}
▲e) <math>(x-\sqrt{2})(x\sqrt{2}-1)=0</math>
 
▲{{Solution
▲ | contenu=
a) <math>(2x+3)(1-x)=0</math>▼
 
ssi <math>2x+3=0</math> ou <math>1-x=0</math>
 
ssi <math>2x=-3</math> ou <math>1=x</math>
 
ssi <math>x=\frac{-3}{2}</math> ou <math>x = 1</math>
 
== Équations à factoriser ==▼
Finalement, <math>S=\{\frac{-3}{2} ; 1\}</math>
(Se ramener à une « équation produit nul ».)
▲a) #<math>(2x+3)(1-x)^2=01</math>.
b) #<math>x\left(x-2\right)=-1</math>.▼
c) #<math>x\left(x+4\right)=-4</math>.▼
d) #<math>\left(x+1\right)\left(x+3\right)=-1</math>.▼
{{Solution|contenu=
#<math>x^2=1\Leftrightarrow x^2-1=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x\in\{-1,1\}</math>.
#<math>x\left(x-2\right)=-1\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1</math>.
#<math>x\left(x+4\right)=-4\Leftrightarrow x^2+4x+4=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow x=-2</math>.
#<math>\left(x+1\right)\left(x+3\right)=-1\Leftrightarrow x^2+4x+4=0\Leftrightarrow x=-2</math>, comme précédemment.
}}
 
<noinclude>{{Bas de page▼
 
▲== Équations carrées ==
 
Un carré est par définition un produit, donc le carré d'un nombre est nul ssi ce nombre est nul.
 
 
▲a) <math>(x+\frac{2}{3})^2=0</math>
 
▲b) <math>2(x-1)^2=0</math>
 
▲c) <math>(\frac{x}{5}-2)x^2=0</math>
 
{{solution}}
 
 
▲== Équations à factoriser ==
 
Attention, le théorème du produit nul n'est vrai que si le produit '''vaut zéro'''.
 
Quand ce n’est pas le cas, il faut s'y ramener.
 
a) <math>x^2=1</math>
 
▲b) <math>x(x-2)=-1</math>
 
▲c) <math>x(x+4)=-4</math>
 
▲d) <math>(x+1)(x+3)=-1</math>
 
{{solution}}
 
 
 
▲<noinclude>{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../Résolution graphique d'équations/]]
| suivant = [[../Résolution d'équations par factorisation/]]
}}
}}</noinclude>
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