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« Topologie générale/Compacité » : différence entre les versions

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rectif (un espace métrique n'est pas toujours à base dénombrable d'ouverts) + Style + liens
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La compacité en topologie apporte une notion de finitude topologique. On ajoute également une condition de séparabilité à la définition :
un espace topologique séparé est dit '''compact''' lorsque de tout recouvrement de cet espace par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini.
Un espace métrisable est compact si et seulement s'il est [[w:Compacité séquentielle|séquentiellement compact]], c'est-à-dire si dans cet espace, toute suite admet une sous-suite convergente.
Des propriétés faisant intervenir les suites sont généralement utilisées lorsque l'espace est à base dénombrable d'ouverts, donc dans le cadre des espaces métriques,
Une partie d'un espace topologique est dite compacte signifiesi elle est compacte pour sa topologie induite.▼
mais dans le cadre le plus général d'une topologie quelconque, les propriétés liées aux suites ne sont pas strictement équivalentes à la définition donnée supra.
▲Une partie est compacte signifie compacte pour sa topologie induite.
 
Exemples : pour R avec sa topologie courante, les intervalles [ a , b ] sont compacts, et plus généralement on démontre que les compacts de R en sont les fermés bornés.
R lui-même n'est pas compact, tandis que R achevé ( muni de la topologie étendue à R auquel ont été adjoint les bornes infinies, afin précisément de "fermer" l'espace ) ▼
l'est. Par voie de conséquence, cela revient à dire que toute suite dans R achevée aura une sous-suite convergente ( au sens de la topologie sur cet espace).
 
Exemples :
*les compacts de '''R''' en sont ses fermés bornés ;
▲*'''R''' lui-même n'est donc pas compact, tandis que [[w:Droite réelle achevée|'''R''' achevé]] ( muni de la topologie étendue à '''R''' auquel ont été adjointadjointes les bornes infinies,) afinest précisémenthoméomorphe deà "fermer"[–1, l'espace1] donc ) compact.
 
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