« Fonction logarithme/Exercices/Équations comportant des exponentielles » : différence entre les versions

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__TOC__
{{Clr}}
== Exercice 5-1 ==
 
Résoudre les équations :
:a)&nbsp;<math>2\operatorname e^{2x}-11\operatorname e^x+15=0</math> ;
 
:b)&nbsp;<math> a)3\quadoperatorname 2ee^{2x}+\operatorname - 11ee^x + 15 -10= 0 </math> ;
:c)&nbsp;<math>5\operatorname e^x-6\operatorname e^{-x}+7=0</math>.
 
{{Solution|contenu=
<math> b)\quad 3e^{2x} + e^x - 10 = 0 </math>
 
<math> c)\quad 5e^{x} - 6e^{-x} + 7 = 0 </math>
 
{{Solution
| contenu =
 
a) L'équation peut s'écrire :
:<math>2\left(\operatorname e^x\right)^2-11\operatorname e^x+15=0</math>.
 
En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup>, elle devient :
<math> 2\left(e^x\right)^2 - 11e^x + 15 = 0 </math>
:<math>2X^2-11X+15=0\Leftrightarrow(2X-5)(X-3)=0</math>,
 
soit ''X'' = 2,5 ou ''X'' = 3.
En posant X = e<sup>x</sup>, on obtient :
 
<math> 2X^2 - 11X + 15 = 0 \Leftrightarrow (2X - 5)(X-3) = 0 </math>
 
Soit '''X = 2,5''' ou '''X = 3'''
 
Pour '''X = 2,5''' :
 
<math> X = 2,5 \Leftrightarrow e^x = 2,5 \Leftrightarrow x = ln(2,5) </math>
 
Pour '''X = 3''' :
 
<math> X = 3 \Leftrightarrow e^x = 3 \Leftrightarrow x = ln3 </math>
 
*Pour ''X'' = 2,5 :
*:<math>X=2{,}5\Leftrightarrow\operatorname e^x = 2{,}5 \Leftrightarrow x=\ln(2{,}5)</math>.
*Pour ''X'' = 3 :
*:<math>X=3\Leftrightarrow\operatorname e^x=3\Leftrightarrow x=\ln3</math>.
 
b) L'équation peut s'écrire :
:<math>3\left(\operatorname e^x\right)^2+\operatorname e^x-10=0</math>.
 
En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup>, elle devient :
<math> 3\left(e^x\right)^2 + e^x - 10 = 0 </math>
:<math>3X^2+X-10=0\Leftrightarrow(3X-5)(X+2)=0</math>,
soit ''X'' = 5/3 ou ''X'' = –2.
 
*Pour ''X'' = 5/3 :
En posant X = e<sup>x</sup>, on obtient :
*:<math>X=\frac53\Leftrightarrow\operatorname e^x=\frac53\Leftrightarrow x=\ln\left(\frac53\right)</math>.
*Pour ''X'' = –2 :
*:<math>X=-2\Leftrightarrow\operatorname e^x=-2</math>.
Une exponentielle étant toujours strictement positive, il n'y a pas de solution correspondant à ''X'' = –2.
 
c) En multipliant les deux membres de l'équation par e<sup>''x''</sup>, l'équation équivaut à :
<math> 3X^2 + X - 10 = 0 \Leftrightarrow (3X - 5)(X+2) = 0 </math>
:<math>5\operatorname e^{2x}-6+7\operatorname e^x=0</math>.
 
Elle peut alors s'écrire :
Soit '''X = 5/3''' ou '''X = -2'''
:<math>5\left(\operatorname e^x\right)^2+7\operatorname e^x-6=0</math>.
 
PourEn posant '''X'' = 5/3e<sup>''x''</sup>, elle devient :
:<math>5X^2+7X-6=0\Leftrightarrow(5X-3)(X+2)=0</math>,
 
soit ''X'' = 3/5 ou ''X'' = –2.
<math> X = \frac53 \Leftrightarrow e^x = \frac53 \Leftrightarrow x = ln\left(\frac53\right) </math>
 
Pour '''X = -2''' :
 
<math> X = -2 \Leftrightarrow e^x = -2 </math>
 
Une exponentielle étant toujours strictement positive, il n'y a pas de solution correspondant à '''X = -2'''
 
 
c) En multipliant les deux membres de l'équation par e<sup>x</sup>, on obtient :
 
<math> 5e^{2x} - 6 + 7e^x = 0 </math>
 
L'équation peut alors s'écrire :
 
<math> 5\left(e^x\right)^2 + 7e^x - 6 = 0 </math>
 
En posant X = e<sup>x</sup>, on obtient :
 
<math> 5X^2 + 7X - 6 = 0 \Leftrightarrow (5X - 3)(X+2) = 0 </math>
 
Soit '''X = 3/5''' ou '''X = -2'''
 
Pour '''X = 3/5''' :
 
<math> X = \frac35 \Leftrightarrow e^x = \frac35 \Leftrightarrow x = ln\left(\frac35\right) </math>
 
Pour '''X = -2''' :
 
<math> X = -2 \Leftrightarrow e^x = -2 </math>
 
Une exponentielle étant toujours strictement positive, il n'y a pas de solution correspondant à '''X = -2'''
 
*Pour ''X'' = 3/5 :
*:<math>X=\frac35\Leftrightarrow\operatorname e^x=\frac35\Leftrightarrow x=\ln\left(\frac35\right)</math>.
*Pour ''X'' = –2 :
*:<math>X=-2\Leftrightarrow\operatorname e^x=-2</math>.
Une exponentielle étant toujours strictement positive, il n'y a pas de solution correspondant à ''X'' = –2.
}}
 
== Exercice 5-2 ==
 
== Exercice 5-2 ==
 
Résoudre les équations :
#<math>\operatorname e^{3x+2}+\frac{\mathrm e}{\operatorname e^{3x+2}}=\mathrm e+1</math> ;
#<math>\operatorname e^{2x+1}+4\operatorname e^{x+1}=3\left(\operatorname e^x+4\right)</math> ;
#<math>2\operatorname e^{2x-4}+5\operatorname e^{x-2}-3=0</math>.
{{Solution|contenu=
#En posant ''X'' = e<sup>3''x''+2</sup>,
#:<math>\begin{align}\operatorname e^{3x+2}+\frac{\mathrm e}{\operatorname e^{3x+2}}=\mathrm e+1
&\Leftrightarrow X^2-\left(\mathrm e+1\right)X+\mathrm e=0\\
&\Leftrightarrow X\in\{\mathrm e,1\}\\
&\Leftrightarrow 3x+2\in\{1,0\}\\
&\Leftrightarrow x\in\left\{-\frac13,-\frac23\right\}.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}\operatorname e^{2x+1}+4\operatorname e^{x+1}=3\left(\operatorname e^x+4\right)
&\Leftrightarrow\mathrm eX^2+(4\mathrm e-3)X-12=0\\
&\Leftrightarrow X=3\\
&\Leftrightarrow x=\ln3.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>''x''–2</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}2\operatorname e^{2x-4}+5\operatorname e^{x-2}-3=0
&\Leftrightarrow2X^2+5X-3=0\\
&\Leftrightarrow X=\frac12\\
&\Leftrightarrow x=2-\ln2.
\end{align}</math>
}}
 
== Exercice 5-3 ==
<math> a)\quad e^{3x+2} + \frac{e}{e^{3x+2}} = e + 1 </math>
 
<math> b)\quad e^{2x+1} + 4e^{x+1} = 3(e^x + 4) </math>
 
<math> c)\quad 2e^{2x-4} + 5e^{x-2} - 3 = 0 </math>
 
{{Solution}}
 
 
== Exercice 5-3 ==
 
Résoudre les équations :
#<math>\frac{\operatorname e^{3x}-\operatorname e^{2x}-14\operatorname e^x+24}{\operatorname e^x-1}=0</math> ;
#<math>\frac{2\operatorname e^{3x}-3\operatorname e^{2x}}{3\operatorname e^x-2}=1</math> ;
#<math>\frac{\operatorname e^{2x}-6}{2-2\operatorname e^x}=1</math>.
{{Solution|contenu=
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}\frac{\operatorname e^{3x}-\operatorname e^{2x}-14\operatorname e^x+24}{\operatorname e^x-1}=0
&\Leftrightarrow X^3-X^2-14X+24=0\\
&\Leftrightarrow X\in\{2,3\}\\
&\Leftrightarrow x\in\{\ln2,\ln3\}.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}\frac{2\operatorname e^{3x}-3\operatorname e^{2x}}{3\operatorname e^x-2}=1
&\Leftrightarrow2X^3-3X^2=3X-2\\
&\Leftrightarrow X\in\left\{\frac12,2\right\}\\
&\Leftrightarrow x\in\{-\ln2,\ln2\}.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}\frac{\operatorname e^{2x}-6}{2-2\operatorname e^x}=1
&\Leftrightarrow X^2-6=2-2X\\
&\Leftrightarrow X=2\\
&\Leftrightarrow x=\ln2.
\end{align}</math>
}}
 
== Exercice 5-4 ==
<math> a)\quad \frac{e^{3x} - e^{2x} - 14e^x + 24}{e^x - 1} = 0 </math>
 
<math> b)\quad \frac{2e^{3x} - 3e^{2x}}{3e^x - 2} = 1 </math>
 
<math> c)\quad \frac{e^{2x} - 6}{2 - 2e^x} = 1 </math>
 
{{Solution}}
 
 
== Exercice 5-4 ==
 
Résoudre les équations :
#<math>\operatorname e^{4x}-2\operatorname e^{3x}-9\operatorname e^{2x}+18\operatorname e^x=0</math> ;
 
#<math> a)6\quadoperatorname e^{4x5x+2} - 2e^7\sqrt{3x} -\operatorname 9ee^{2x8x+4}} +\operatorname 18ee^x {3x+2}= 0 </math> ;
#<math>\operatorname e^{4x+2}-\frac{\operatorname e^2}{\operatorname e^{4x+2}}=\operatorname e^2-1</math>.
 
{{Solution|contenu=
<math> b)\quad 6e^{5x+2} - 7\sqrt{e^{8x+4}} + e^{3x+2} = 0 </math>
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' > 0),
 
#:<math> c)\quadbegin{align}\operatorname e^{4x+2} -2\operatorname \frac{e^2{3x}{-9\operatorname e^{4x2x}+2}} =18\operatorname e^2 - 1 </math>x=0
&\Leftrightarrow X^3-2X^2-9X+18=0\\
 
&\Leftrightarrow X\in\{2,3\}\\
{{Solution}}
&\Leftrightarrow x\in\{\ln2,\ln3\}.
 
\end{align}</math>
<br />
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' ≠ 0),
#:<math>\begin{align}6\operatorname e^{5x+2}-7\sqrt{\operatorname e^{8x+4}}+\operatorname e^{3x+2}=0
&\Leftrightarrow6X^2-7X+1=0\\
&\Leftrightarrow X\in\left\{1,\frac16\right\}\\
&\Leftrightarrow x\in\{0,-\ln6\}.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>4''x''+2</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}\operatorname e^{4x+2}-\frac{\operatorname e^2}{\operatorname e^{4x+2}}=\operatorname e^2-1
&\Leftrightarrow X^2-(\operatorname e^2-1)X-\operatorname e^2=0\\
&\Leftrightarrow X=\operatorname e^2\\
&\Leftrightarrow x=0.
\end{align}</math>
}}
 
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