« Fonction logarithme/Exercices/Équations comportant des exponentielles » : différence entre les versions
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== Exercice 5-1
Résoudre les équations :
:a) <math>2\operatorname e^{2x}-11\operatorname e^x+15=0</math> ;
:b) <math>
:c) <math>5\operatorname e^x-6\operatorname e^{-x}+7=0</math>.
{{Solution|contenu=
a) L'équation peut s'écrire :
:<math>2\left(\operatorname e^x\right)^2-11\operatorname e^x+15=0</math>.
En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup>, elle devient :
:<math>2X^2-11X+15=0\Leftrightarrow(2X-5)(X-3)=0</math>,
soit ''X'' = 2,5 ou ''X'' = 3.
*Pour ''X'' = 2,5 :
*:<math>X=2{,}5\Leftrightarrow\operatorname e^x = 2{,}5 \Leftrightarrow x=\ln(2{,}5)</math>.
*Pour ''X'' = 3 :
*:<math>X=3\Leftrightarrow\operatorname e^x=3\Leftrightarrow x=\ln3</math>.
b) L'équation peut s'écrire :
:<math>3\left(\operatorname e^x\right)^2+\operatorname e^x-10=0</math>.
En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup>, elle devient :
:<math>3X^2+X-10=0\Leftrightarrow(3X-5)(X+2)=0</math>,
soit ''X'' = 5/3 ou ''X'' = –2.
*Pour ''X'' = 5/3 :
*:<math>X=\frac53\Leftrightarrow\operatorname e^x=\frac53\Leftrightarrow x=\ln\left(\frac53\right)</math>.
*Pour ''X'' = –2 :
*:<math>X=-2\Leftrightarrow\operatorname e^x=-2</math>.
Une exponentielle étant toujours strictement positive, il n'y a pas de solution correspondant à ''X'' = –2.
c) En multipliant les deux membres de l'équation par e<sup>''x''</sup>, l'équation équivaut à :
:<math>5\operatorname e^{2x}-6+7\operatorname e^x=0</math>.
Elle peut alors s'écrire :
:<math>5\left(\operatorname e^x\right)^2+7\operatorname e^x-6=0</math>.
:<math>5X^2+7X-6=0\Leftrightarrow(5X-3)(X+2)=0</math>,
soit ''X'' = 3/5 ou ''X'' = –2.
*Pour ''X'' = 3/5 :
*:<math>X=\frac35\Leftrightarrow\operatorname e^x=\frac35\Leftrightarrow x=\ln\left(\frac35\right)</math>.
*Pour ''X'' = –2 :
*:<math>X=-2\Leftrightarrow\operatorname e^x=-2</math>.
Une exponentielle étant toujours strictement positive, il n'y a pas de solution correspondant à ''X'' = –2.
}}
== Exercice 5-2 ==
Résoudre les équations :
#<math>\operatorname e^{3x+2}+\frac{\mathrm e}{\operatorname e^{3x+2}}=\mathrm e+1</math> ;
#<math>\operatorname e^{2x+1}+4\operatorname e^{x+1}=3\left(\operatorname e^x+4\right)</math> ;
#<math>2\operatorname e^{2x-4}+5\operatorname e^{x-2}-3=0</math>.
{{Solution|contenu=
#En posant ''X'' = e<sup>3''x''+2</sup>,
#:<math>\begin{align}\operatorname e^{3x+2}+\frac{\mathrm e}{\operatorname e^{3x+2}}=\mathrm e+1
&\Leftrightarrow X^2-\left(\mathrm e+1\right)X+\mathrm e=0\\
&\Leftrightarrow X\in\{\mathrm e,1\}\\
&\Leftrightarrow 3x+2\in\{1,0\}\\
&\Leftrightarrow x\in\left\{-\frac13,-\frac23\right\}.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}\operatorname e^{2x+1}+4\operatorname e^{x+1}=3\left(\operatorname e^x+4\right)
&\Leftrightarrow\mathrm eX^2+(4\mathrm e-3)X-12=0\\
&\Leftrightarrow X=3\\
&\Leftrightarrow x=\ln3.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>''x''–2</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}2\operatorname e^{2x-4}+5\operatorname e^{x-2}-3=0
&\Leftrightarrow2X^2+5X-3=0\\
&\Leftrightarrow X=\frac12\\
&\Leftrightarrow x=2-\ln2.
\end{align}</math>
}}
== Exercice 5-3 ==
Résoudre les équations :
#<math>\frac{\operatorname e^{3x}-\operatorname e^{2x}-14\operatorname e^x+24}{\operatorname e^x-1}=0</math> ;
#<math>\frac{2\operatorname e^{3x}-3\operatorname e^{2x}}{3\operatorname e^x-2}=1</math> ;
#<math>\frac{\operatorname e^{2x}-6}{2-2\operatorname e^x}=1</math>.
{{Solution|contenu=
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}\frac{\operatorname e^{3x}-\operatorname e^{2x}-14\operatorname e^x+24}{\operatorname e^x-1}=0
&\Leftrightarrow X^3-X^2-14X+24=0\\
&\Leftrightarrow X\in\{2,3\}\\
&\Leftrightarrow x\in\{\ln2,\ln3\}.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}\frac{2\operatorname e^{3x}-3\operatorname e^{2x}}{3\operatorname e^x-2}=1
&\Leftrightarrow2X^3-3X^2=3X-2\\
&\Leftrightarrow X\in\left\{\frac12,2\right\}\\
&\Leftrightarrow x\in\{-\ln2,\ln2\}.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}\frac{\operatorname e^{2x}-6}{2-2\operatorname e^x}=1
&\Leftrightarrow X^2-6=2-2X\\
&\Leftrightarrow X=2\\
&\Leftrightarrow x=\ln2.
\end{align}</math>
}}
== Exercice 5-4 ==
Résoudre les équations :
#<math>\operatorname e^{4x}-2\operatorname e^{3x}-9\operatorname e^{2x}+18\operatorname e^x=0</math> ;
#<math>
#<math>\operatorname e^{4x+2}-\frac{\operatorname e^2}{\operatorname e^{4x+2}}=\operatorname e^2-1</math>.
{{Solution|contenu=
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>
&\Leftrightarrow X^3-2X^2-9X+18=0\\
&\Leftrightarrow X\in\{2,3\}\\
&\Leftrightarrow x\in\{\ln2,\ln3\}.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>''x''</sup> (donc ''X'' ≠ 0),
#:<math>\begin{align}6\operatorname e^{5x+2}-7\sqrt{\operatorname e^{8x+4}}+\operatorname e^{3x+2}=0
&\Leftrightarrow6X^2-7X+1=0\\
&\Leftrightarrow X\in\left\{1,\frac16\right\}\\
&\Leftrightarrow x\in\{0,-\ln6\}.
\end{align}</math>
#En posant ''X'' = e<sup>4''x''+2</sup> (donc ''X'' > 0),
#:<math>\begin{align}\operatorname e^{4x+2}-\frac{\operatorname e^2}{\operatorname e^{4x+2}}=\operatorname e^2-1
&\Leftrightarrow X^2-(\operatorname e^2-1)X-\operatorname e^2=0\\
&\Leftrightarrow X=\operatorname e^2\\
&\Leftrightarrow x=0.
\end{align}</math>
}}
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