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« Fonction logarithme/Exercices/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant » : différence entre les versions

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__TOC__
{{Clr}}
== Exercice 6-1 ==
 
Trouver un entier <math>n</math> tel que :
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a) Prenons le logarithme népérien des deux membres :
 
<math> \ln(2^n) = \ln(131072) \Leftrightarrow n\ln2 = \ln(131072) \Leftrightarrow n = \frac{\ln(131072)}{\ln2} \Leftrightarrow n = 17 </math>.
 
 
b) Nous avons :
 
<math> 3^n + 3 = 177150 \Leftrightarrow 3^{n -1}= 177147 59049</math>.
 
Prenons le logarithme népérien des deux membres :
 
<math> \ln(3^{n-1}) = \ln(17714759049) \Leftrightarrow (n-1)\ln3 = \ln(17714759049) \Leftrightarrow n = 1+\frac{\ln(17714759049)}{\ln3} \Leftrightarrow n = 11 </math>.
 
 
c) Nous avons :
 
<math> 3\times 7^n = 352947 \Leftrightarrow 7^n = 117649 </math>.
 
Prenons le logarithme népérien des deux membres :
Ligne 44 :
}}
 
== Exercice 6-2 ==▼
 
▲== Exercice 6-2 ==
 
Résoudre les équations suivantes :
#<math> a)\quad 2^{3x+1} = 8^{5x-3} </math> ;▼
#<math> b)\quad 2^x + \frac6{2^x} = 5 </math> ;▼
#<math> c)\quad 3^{4x} = 9^{\frac{8x-5}{8x-8}} </math>.▼
{{Solution}}|contenu=▼
#<math>2^{3x+1}=8^{5x-3}\Leftrightarrow3x+1=3(5x-3)\Leftrightarrow x=\frac56</math>.
#<math>2^x+\frac6{2^x}=5\Leftrightarrow2^x\in\{2,3\}\Leftrightarrow x\in\left\{1,\frac{\ln3}{\ln2}\right\}</math>.
#<math>3^{4x}=9^{\frac{8x-5}{8x-8}}\Leftrightarrow2x=\frac{8x-5}{8x-8}\Leftrightarrow x\in\left\{\frac14,\frac54\right\}</math>.
}}
 
== Exercice 6-3 ==▼
▲<math> a)\quad 2^{3x+1} = 8^{5x-3} </math>
 
▲<math> b)\quad 2^x + \frac6{2^x} = 5 </math>
 
▲<math> c)\quad 3^{4x} = 9^{\frac{8x-5}{8x-8}} </math>
 
▲{{Solution}}
 
 
▲== Exercice 6-3 ==
 
Résoudre les équations suivantes :
#<math> a)\quad 5^{\sin x} + \frac2{5^{\sin x}} = 3 </math> ;▼
#<math> b)\quad 7^{x+\frac43} - 5^{3x} = 2\left(7^{x+\frac13} + 5^{3x-1}\right) </math> ;▼
#<math> c)\quad 2^{x+2} + 4^{x+1} = 224 </math>.▼
{{Solution}}|contenu=▼
#<math>5^{\sin x}+\frac2{5^{\sin x}}=3\Leftrightarrow5^{\sin x}\Leftrightarrow5^{\sin x}\in\{1,2\}\Leftrightarrow\sin x\in\left\{0,\frac{\ln2}{\ln5}\right\}</math>.
#:Les solutions <math>x\pmod{2\pi}</math> sont donc <math>0</math>, <math>\pi</math>, <math>\arcsin\frac{\ln2}{\ln5}</math> et <math>\pi-\arcsin\frac{\ln2}{\ln5}</math>.
#<math>7^{x+\frac43}-5^{3x}=2\left(7^{x+\frac13}+5^{3x-1}\right)\Leftrightarrow5.7^{x+1/3}=5^{3x+1}\left(\frac15+\frac2{25}\right)\Leftrightarrow\left(\frac7{125}\right)^{x+1/3}=\frac7{125}\Leftrightarrow x+1/3=1\Leftrightarrow x=2/3</math>.
#<math>2^{x+2}+4^{x+1}=224\Leftrightarrow2^x+(2^x)^2=56\Leftrightarrow2^x=7\Leftrightarrow x=\frac{\ln7}{\ln2}</math>.
}}
 
== Exercice 6-4 ==▼
 
▲<math> a)\quad 5^{\sin x} + \frac2{5^{\sin x}} = 3 </math>
 
▲<math> b)\quad 7^{x+\frac43} - 5^{3x} = 2\left(7^{x+\frac13} + 5^{3x-1}\right) </math>
 
▲<math> c)\quad 2^{x+2} + 4^{x+1} = 224 </math>
 
▲{{Solution}}
 
 
▲== Exercice 6-4 ==
 
Résoudre les inéquations suivantes :
#<math>8^x<2^{2x+5}</math> ;
 
#<math>\operatorname e^{\sin x}-\frac9{\operatorname e^{\sin x}}\geqslant0</math> ;
 
#<math> a)\quadoperatorname 8e^{\sin x}+\frac9{\operatorname < 2e^{2x\sin + 5x} }\geqslant0</math>.
{{Solution}}|contenu=▼
 
#<math> b)\quad e8^x<2^{\sin x2x+5} - \frac9{eLeftrightarrow2^{x<2^5\sinLeftrightarrow x}} \geqslant 0 <5</math>.
#<math>\operatorname e^{\sin x}\ge\frac9{\operatorname e^{\sin x}}\Leftrightarrow\operatorname e^{\sin x}\ge3\Leftrightarrow\sin x\ge\ln3\Rightarrow\sin x>1</math> donc il n'y a pas de solution.
 
#<math> c)\quadoperatorname e^{\sin x} + \ge-\frac9{\operatorname e^{\sin x}} \geqslantLeftrightarrow\operatorname 0e^{2\sin x}\ge-9</math> donc tout réel est solution.
}}
 
▲{{Solution}}
 
 
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