« Polynôme/Définitions » : différence entre les versions
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Démonstration de l'unicité |
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dans K qui a tout indéterminée "X" associe un réel de la forme
:<math>P(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + \dots + a_nX^n</math> = \sum_{k=0}^n a_k X^k, où <math>a_1, a_2, \dots, a_n \in K</math>
NB : X n'est pas un paramètre mais bien une indéterminée
}}
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}}
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'''Théorème :'''
Soit deux fonctions polynomiales <math>f</math> et <math>g</math> telles que <math>f = g</math>et
<math>f : K \rightarrow K
</math> <math>g:K \rightarrow K</math>
<math>X\rightarrow a_nX^n+ ...+a_2X^2+a_1X+a_0</math> <math>X\rightarrow b_nX^n+...+b_2X^2+b_1X+b_0</math>
Alors, <math>a_n=b_n ... a_2=b_2 ; a_1=b_1 ; a_0=b_0</math>
'''Démonstration'''
On définit la fonction polynomiale <math>f-g : K\rightarrow K</math>
<math>X\rightarrow f(X)-g(X)</math>
Pour le démonter, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel <math>\eta</math>tel que <math>\forall x \in\sqsubset-\eta ; \eta\sqsupset</math>, <math>h(x)=0</math> . En effet, la fonction polynôme est continue.
Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :
<u>Initialisation</u> : Si <math>n=0</math>, <math>h(x)= a_0</math>et donc <math>a_0=0</math>
<u>Hérédité</u> : Supposons que la propriété soit vraie pour <math>n-1</math>. Montrons que c'est aussi le cas pour <math>n</math>.
Soit le polynôme <math>B</math>tel que <math>B(X)=\beta_nX^n+...+\beta_2X^2+...\beta_1X+\beta_0</math> et <math>B(x)=0 </math>pour tout <math>x</math>.
Donc, <math>B(0)=\beta_0=0</math>.
On peut donc écrire <math>
On pose maintenant le polynôme <math>A(X)</math>tel que <math>A(x)\times x=B(x)</math>. Ainsi, <math>A(X)=\beta_nX^(n-1)+...+\beta_3X^2+\beta_2X+\beta_1</math>
D'autre part, pour tout <math>x\neq0</math>, <math>A(x)=0</math>. Or, d'après le lemme démontré précédemment, <math>A(0)=0</math>. En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel <math>\eta</math>tel que <math>\forall x \in\sqsubset-\eta ; \eta\sqsupset</math>, <math>A(x)=0</math>ce qui est faux.
Donc, d'après l'hypothèse de récurrence, <math>\beta_1=\beta_2=...\beta_n=0=\beta_0</math>.
Donc, la propriété est démontrée pour le rang <math>n</math>.
Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.
Ainsi, <math>f-g</math>est identiquement nulle. Donc, <math>a_n=b_n ... a_2=b_2 ; a_1=b_1 ; a_0=b_0</math>: le théorème est démontré.
Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante
'''Propriété :'''
Soit deux fonctions polynomiales <math>f</math> et <math>g</math> telles que <math>f = g</math>et
<math>f : K \rightarrow K
</math> <math>g:K \rightarrow K</math>
<math>X\rightarrow a_nX^n+ ...+a_2X^2+a_1X+a_0</math> <math>X\rightarrow b_mX^m+...+b_2X^2+b_1X+b_0</math>
Avec <math>n</math>et <math>m</math>différents de 0.
On a alors <math>n=m</math>et <math>a_n=b_m ... a_2=b_2 ; a_1=b_1 ; a_0=b_0</math>.
=== Coefficients et degré ===
Soit <math>P(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k\in K[X]</math>.
{{Définition
| contenu =
'''Coefficients :''' <math>a_0, a_1, \dots, a_n</math> sont appelés les coefficients de P.
'''Degré''' : le degré d’un polynôme est l'exposant de la plus grande puissance de X à coefficient non nul. On le notera <math>\deg(P)</math> ou <math>\mathrm d^o(P)</math>.
Formellement, <math>\deg(P) = \max\{k\in\N\mid a_k\ne 0\}</math>.
Par convention, le degré du polynôme nul est −
∞
}}La propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.
On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré. {{Propriété
| contenu =
Soient <math>P,Q\in K[X]</math>. Alors :
* <math>\deg PQ = \deg P + \deg Q</math> ;
* <math>\deg (P+Q) \le \max(\deg P,\deg Q)</math> avec égalité sauf si <math>\deg P = \deg Q</math> et si la somme des monômes de plus haut degré de <math>P</math> et <math>Q</math> est nulle.
}}
*
{{Exemple
| titre = Exemples
| contenu =
* <math>3{X^2}</math> est un monôme de degré 2 et de coefficient 3
* <math>-7{X^5}</math> est un monôme de degré 5 et de coefficient (-7)
* <math>\sqrt{2}{X^0}</math>, est un monôme de degré 0 et de coefficient <math>\sqrt{2}</math>
}}
* si <math>n=1</math>, <math>M=aX</math> ; <math>M</math> est un monôme de degré 1, on dit qu’il est ''unitaire''
== Structure de ''K''[''X''] ==
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