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__TOC__
{{Clr}}
== DéfinitionsDéfinition ==
{{Définition
| titre =« Définition » des polynômes
| contenu =
On appelle polynômefonction àpolynomiale indéterminéetoute ''X'' tout « objet »application de la forme :K
dans K qui a tout indéterminée "X" associe un réel de la forme
:<math>P(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + \dots + a_nX^n</math>, où <math>a_1, a_2, \dots, a_n \in K</math>.
:<math>P(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + \dots + a_nX^n</math> = \sum_{k=0}^n a_k X^k, où <math>a_1, a_2, \dots, a_n \in K</math> et les exposants sont des entiers naturels
NB : X n'est pas un paramètre mais bien une indéterminée
On notera <math>P \in K[X]</math>.
}}
| titre = Exemples
| contenu =
* La fonction de K dans K qui à tout X associe <math>5 + 2X + 3{X^2}</math> est un polynôme.
* La fonction de K dans K qui à tout X associe <math>\quad -7</math> est un polynôme.
* La fonction des réels positifs dans les réels <math>\sqrt{X}</math> n'est '''pas''' un polynôme. En effet, une fonction polynomiale est une fonction de K dans K.
*La fonction de K dans K qui à tout X associe sa racine cubique n'est pas une fonction polynomiale. Pour le démontrer, on peut montrer que toutes les fonctions polynomiales sont dérivables sur K tout entier alors que la fonction racine cubique ne l'est pas en 0.
}}
== Unicité ==
=== Coefficients et degré ===
'''Théorème :'''
Soit <math>P(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k\in K[X]</math>.
Soit deux fonctions polynomiales <math>f</math> et <math>g</math> telles que <math>f = g</math>et
{{Définition
| contenu =
'''Coefficients :''' <math>a_0, a_1, \dots, a_n</math> sont appelés les coefficients de P.
<math>f : K \rightarrow K
'''Degré''' : le degré d’un polynôme est l'exposant de la plus grande puissance de X à coefficient non nul. On le notera <math>\deg(P)</math> ou <math>\mathrm d^o(P)</math>.
</math> <math>g:K \rightarrow K</math>
Formellement, <math>\deg(P) = \max\{k\in\N\mid a_k\ne 0\}</math>.
}}
<math>X\rightarrow a_nX^n+ ...+a_2X^2+a_1X+a_0</math> <math>X\rightarrow b_nX^n+...+b_2X^2+b_1X+b_0</math>
{{Propriété
| contenu =
Soient <math>P,Q\in K[X]</math>. Alors :
* <math>\deg PQ = \deg P + \deg Q</math> ;
* <math>\deg (P+Q) \le \max(\deg P,\deg Q)</math> avec égalité sauf si <math>\deg P = \deg Q</math> et si la somme des monômes de plus haut degré de <math>P</math> et <math>Q</math> est nulle.
}}
Alors, <math>a_n=b_n ... a_2=b_2 ; a_1=b_1 ; a_0=b_0</math>
=== Unicité ===
'''Démonstration'''
{{Propriété
| titre = Unicité de l'écriture polynomiale
| contenu =
L'écriture des monômes est unique.
}}
On définit la fonction polynomiale <math>f-g : K\rightarrow K</math>
{{Démonstration déroulante|titre=« Démonstration », à partir d'extrapolations de la « définition »
| contenu =
Montrons que l'écriture <math>M=a{X^n}</math> est unique.
<math>X\rightarrow f(X)-g(X)</math>
Soit <math>b \in \R</math> et <math>p \in \N</math>. Supposons que <math>M=a{X^n}</math> et <math>M=b{X^p}</math>.
En particulierDonc, « si <math>f-g(X)=1</math> »,(a_n-b_n)X^n+...+ <math>M(a_2-b_2)X^2+(a_1-b_1)X+(a_0-b_0)=a0</math>pour ettout <math>M=bX</math> donc <math>a=b</math>.
« Sinon »,Montrons pourle toutlemme <math>X</math>,suivant onqui arendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale <math>M=a{X^n}h</math>nulle etpour toute valeur de <math>M=a{X^p}</math>,(on doncdit que<math>a{X^n}=a{X^p}h</math>est identiquement nulle) , alors tous ses coefficients sont nuls.
* si <math>a=0</math>, <math>M=0</math>
* sinon, on a <math>{X^n}={X^p}</math> « donc » <math>{X^{n-p}}=1</math>, « c'est-à-dire » <math>n-p=0</math>
Pour le démonter, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel <math>\eta</math>tel que <math>\forall x \in\sqsubset-\eta ; \eta\sqsupset</math>, <math>h(x)=0</math> . En effet, la fonction polynôme est continue.
et ainsi <math>n=p</math>.
Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :
}}
<u>Initialisation</u> : Si <math>n=0</math>, <math>h(x)= a_0</math>et donc <math>a_0=0</math>
L'écriture <math>M=a{X^n}</math> est donc unique, nommons les termes :
* <math>a</math> est le '''coefficient du monôme'''
* <math>n</math> est le '''degré du monôme'''
<u>Hérédité</u> : Supposons que la propriété soit vraie pour <math>n-1</math>. Montrons que c'est aussi le cas pour <math>n</math>.
{{Exemple
| titre = Exemples
| contenu =
* <math>3{X^2}</math> est un monôme de degré 2 et de coefficient 3
* <math>-7{X^5}</math> est un monôme de degré 5 et de coefficient (-7)
* <math>\sqrt{2}{X^0}</math>, est un monôme de degré 0 et de coefficient <math>\sqrt{2}</math>
}}
Soit le polynôme <math>B</math>tel que <math>B(X)=\beta_nX^n+...+\beta_2X^2+...\beta_1X+\beta_0</math> et <math>B(x)=0 </math>pour tout <math>x</math>.
Cas particuliers :
* si <math>n=1</math>, <math>M=aX</math> ; <math>M</math> est un monôme de degré 1, on dit qu’il est ''unitaire''
* si <math>a=0</math>, <math>M=0</math> ; <math>M</math> est le monôme nul ; par convention, son degré vaut <math>-\infty</math>
Donc, <math>B(0)=\beta_0=0</math>.
== Polynôme ==
Un ''polynôme'' <math>P</math> est une '''somme de monômes'''.
On peut donc écrire <math>PB</math> est alors desous la forme : <math>P=a_n{B(X)=\beta_nX^n}+a_{n-1}{X^{n-1}}+...+a_2{X\beta_3X^2}3+a_1{X}\beta_2X^2+a_0\beta_1X</math>, avec :.
* <math>n \in \N</math> ;
* <math>(a_0,a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n) \in \R^{n+1}</math>.
On pose maintenant le polynôme <math>A(X)</math>tel que <math>A(x)\times x=B(x)</math>. Ainsi, <math>A(X)=\beta_nX^(n-1)+...+\beta_3X^2+\beta_2X+\beta_1</math>
D'autre part, pour tout <math>x\neq0</math>, <math>A(x)=0</math>. Or, d'après le lemme démontré précédemment, <math>A(0)=0</math>. En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel <math>\eta</math>tel que <math>\forall x \in\sqsubset-\eta ; \eta\sqsupset</math>, <math>A(x)=0</math>ce qui est faux.
Son '''écriture réduite ordonnée''' est : <math>P= \sum_{i=0}^n a_i{X^i}</math>. Nous admettrons qu'elle est unique.
Donc, d'après l'hypothèse de récurrence, <math>\beta_1=\beta_2=...\beta_n=0=\beta_0</math>.
* Les <math>a_i</math> sont appelés '''coefficients''' du polynôme.
* <math>a_n{X^n}</math> est le '''terme de plus haut degré'''.
* <math>a_n</math> est le '''coefficient du terme de plus haut degré'''.
Donc, la propriété est démontrée pour le rang <math>n</math>.
Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.
D'autres préfèrent écrire avec les indices dans l'autre sens, évidemment parce que cela a un intérêt :
Soit <math>(b_0,b_1,b_2,...,b_{n-1},b_n) \in \R^{n+1}</math>
Ainsi, <math>f-g</math>est identiquement nulle. Donc, <math>a_n=b_n ... a_2=b_2 ; a_1=b_1 ; a_0=b_0</math>: le théorème est démontré.
et <math>P= b_n{x^0}+b_{n-1}{x^{1}}+...+b_2{x^{n-2}}+b_1{x^{n-1}}+b_0 {x^n}</math>.
Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante
En voici la raison, du point de vue du physicien, souvent <math>b_0</math> est non nul et on ne considère que les polynômes unitaires (ce coefficient vaut 1), alors si la dimension de x est [L], la dimension de <math>b_k</math> est [ L^k], et cela est bien utile pour retenir certaines formules.
'''Propriété :'''
Donnons un exemple : le discriminant de l'équation du troisième degré :
:<math> X^3 + p X + q </math>
vaut :
:<math> \Delta = 4p^3+27q^2 </math>.
Soit deux fonctions polynomiales <math>f</math> et <math>g</math> telles que <math>f = g</math>et
Cette expression est « homogène » et pertinente (p puissance impaire, et q, paire). Eût-on écrit 3p' et 2q', on aurait eu le « discriminant réduit » p'^3 + q'^2 , plus étudié chez les physiciens comme « plus naturel »(?).
<math>f : K \rightarrow K
L'explication très simple qu'on peut en donner est la remarque suivante: l'équation du troisième degré a au moins une racine réelle, appelons-la x1 := 2 xo . La mise en facteur donne un polynôme du deuxième degré qui va conduire au discriminant ordinaire, qui discriminera s'il y a une ou trois racines réelles : la « transition de phase » ( le changement de comportement en mathématiques) aura lieu quand la racine sera double, donc quand elle vaudra -xo, puisque la somme des racines est nulle donc alors P(x) = (x-2xo)(x²+2x.xo +xo²) = x^3 + 3x0².x - 2xo^3 :soit p' = xo² et q' = -xo^3.
Ensuite, il est facile de retrouver la théorie de Landau du changement de phase (il s'agit juste d’une translation du vocabulaire entre les deux disciplines).
</math> <math>g:K \rightarrow K</math>
== Structure de ''K''[''X''] ==
<math>X\rightarrow a_nX^n+ ...+a_2X^2+a_1X+a_0</math> <math>X\rightarrow b_mX^m+...+b_2X^2+b_1X+b_0</math>
{{Théorème
| titre = Théorème et définition
| contenu =
Soient <math>P = \sum_{k=0}^na_k X^k</math> et <math>Q = \sum_{k=0}^nb_k X^k</math> deux polynômes et <math>\lambda\in K</math>.
On définit surAvec <math>K[X]n</math>et les opérations<math>m</math>différents suivantesde :0.
* '''l'addition de deux polynômes''' : <math>P+Q = \sum_{k=0}^n(a_k+b_k) X^k</math> ;
* '''la multiplication d’un polynôme par un scalaire''' : <math>\lambda P = \sum_{k=0}^{n}(\lambda a_k) X^k</math> ;
* '''le produit de deux polynômes''' : <math>PQ = \sum _{k=0}^{2n} c_k X^k</math>
où <math>c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}\ = \sum_{p+q=k}a_pb_q</math>.
On a alors <math>n=m</math>et <math>a_n=b_m ... a_2=b_2 ; a_1=b_1 ; a_0=b_0</math>.
<math>(K[X],+,\cdot,\times)</math> est une [[Algèbre sur un corps|'''<math>K</math>-algèbre''']], ce qui signifie que :
* <math>(K[X],+,\cdot)</math> est un ''<math>K</math>-[[espace vectoriel]]'' ;
* <math>(K[X],+,\times)</math> est un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] (en plus, il est ''commutatif et intègre'') ;
*les lois <math>\cdot</math> et <math>\times</math> sont compatibles : <math>(\lambda\cdot P)\times Q=\lambda\cdot(P\times Q)=P\times(\lambda\cdot Q)</math>.
}}
== Degré d'un polynôme ==
La définition du produit de deux polynômes n'est a priori pas intuitive (voir pour cela [[w:Produit de Cauchy]]). Elle repose pourtant sur l’utilisation habituelle de la distributivité :
Soit <math>P(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k\in K[X]</math>.
{{Exemple
| contenu =
Soient <math>P = X^2-3X+1</math> et <math> Q = X^3-5X+4</math> dans <math>\R[X]</math>.
{{Définition
En calculant <math>PQ</math> avec la distributivité, on trouve :
| contenu =
:<math>\begin{align}
'''Coefficients :''' <math>a_0, a_1, \dots, a_n</math> sont appelés les coefficients de P.
PQ &= X^2(X^3-5X+4) -3X(X^3-5X+4) + 1(X^3 - 5X + 4) \\
&= X^5 - 5X^3 + 4X^2 - 3X^4 +15X^2 -12X +X^3 - 5X + 4 \\
&= X^5 - 3X^4 -4X^3 +19X^2-17X+4\end{align}</math>
'''Degré''' : le degré d’un polynôme est l'exposant de la plus grande puissance de X à coefficient non nul. On le notera <math>\deg(P)</math> ou <math>\mathrm d^o(P)</math>.
Vérifions par exemple ce qui se passe pour <math>k = 4</math> dans la formule ci-dessus :
:<math>c_4 = \sum_{i=0}^4 a_i b_{4-i} = a_0 b_4 + a_1 b_3 + a_2b_2+a_3b_1+a_4b_0 = 1\times 0 +(-3)\times 1+ 1\times 0 + 0\times -5 +0\times 4 = -3</math>,
ce qui correspond au résultat ci-dessus.
Formellement, <math>\deg(P) = \max\{k\in\N\mid a_k\ne 0\}</math>.
En fait, il suffit pour comprendre de remarquer que <math>a_iX^i\times b_{k-i}X^{k-i} = a_i b_{k-i}X^k</math>, ce qui explique un peu la formule.
Par convention, le degré du polynôme nul est −
∞
}}La propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.
On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré. {{Propriété
| contenu =
Soient <math>P,Q\in K[X]</math>. Alors :
* <math>\deg PQ = \deg P + \deg Q</math> ;
* <math>\deg (P+Q) \le \max(\deg P,\deg Q)</math> avec égalité sauf si <math>\deg P = \deg Q</math> et si la somme des monômes de plus haut degré de <math>P</math> et <math>Q</math> est nulle.
}}
*
{{Propriété
| titre = Propriété : Les unités de ''K''[''X'']
{{Exemple
| contenu =
| titre = Exemples
Les « unités » (c'est-à-dire les éléments inversibles) de <math>K[X]</math> sont les polynômes constants non nuls. En les identifiant avec leur constante, on a donc :
| contenu =
:<math>(K[X])^{\times}=K^*</math>.
* <math>3{X^2}</math> est un monôme de degré 2
* <math>-7{X^5}</math> est un monôme de degré 5
* <math>\sqrt{2}{X^0}</math>, est un monôme de degré 0
*<math>-7{X^5}+7{X^5}<math>, est un polynôme de degré moins l'infini.
}}
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