Wikiversité

« Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
mise à jour
mAucun résumé des modifications
Ligne 10 :
{{définition
| contenu =
On notera φ<math>\langle\;\mid\;\rangle</math> l’application définie par :
 
<math> \begin{align}
\varphi langle\;\mid\;\rangle:\left(\operatorname M_{m,n}(\R)\right)^2&\longrightarrow\R \\
(A,B)&\longmapsto \operatorname{Tr}(^t\!AB)=\sum_{1\le i\le m,\,1\le j\le n}A_{i,j}B_{i,j}.
\end{align} </math>
}}
Ligne 20 :
{{Exemple
| contenu =
 
Soient les matrices :
<math>\mathbf A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}</math>
<math>\mathbf B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}</math>.
Alors leur produit scalaire vaut :
:<math>\langle \mathbf A, \mathbfmid B \rangle = \mathrm{trTr}\, \begin{pmatrix} 14 & 18 \\ 20 & 26 \end{pmatrix} = 14 + 26 = 40</math>.
}}
 
Ce produit scalaire induit une norme (la norme de Frobenius) : voir [[Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices]] (niveau 16).▼
 
{{propriété
| titre = Propriété 10
| contenu =
<math>\varphilangle\;\mid\;\rangle</math> est un [[Espace euclidien/Produit scalaire|produit scalaire]] sur M<sub>''m'',''n''</sub>(ℝ).
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
On reconnait l'écriture du [[Espace euclidien/Produit scalaire|produit scalaire canonique sur ℝ{{exp|''mn''}}]], naturellement isomorphe à M<sub>''m'',''n''</sub>(ℝ).
}}
 
▲Ce produit scalaire induit une norme (la norme de Frobenius) : voir [[Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices]] (niveau 16).
Nous noterons par la suite pour toute matrice A,B,C,D appartenant à M<sub>m,n</sub>(ℝ) :▼
 
▲Nous noterons par la suite, pour toutetoutes matricematrices ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' appartenant à M<sub>''m'',''n''</sub>(ℝ) :
<math> \langle A|B \rangle=\phi(A,B) </math>
*<math> \overrightarrow{AB}:=B-A </math> ;▼
*<math> \overrightarrow{AB}.\cdot\overrightarrow{CD}:=\phi(B-A,D-C)langle\overrightarrow{AB}\mid\overrightarrow{CD}\rangle= \langle B-A|\mid D-C \rangle= \operatorname{Tr}\left(^t(B-A)(D-C)\right) </math> ;▼
*<math> AB:=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}=\sqrt{\phi(langle B-A,B-A)}= \sqrt{\langlemid B-A|B-A \rangle}= \sqrt{\operatorname{Tr}\left(^t(B-A)(B-A)\right)} </math>.▼
''AB'' sera alors la distance de la matrice ''A'' à la matrice ''B''.▼
Nous noterons aussi :
 
▲<math> \overrightarrow{AB}=B-A </math>
 
▲<math> \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\phi(B-A,D-C)= \langle B-A|D-C \rangle= \operatorname{Tr}\left(^t(B-A)(D-C)\right) </math>
 
▲<math> AB=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}=\sqrt{\phi(B-A,B-A)}= \sqrt{\langle B-A|B-A \rangle}= \sqrt{\operatorname{Tr}\left(^t(B-A)(B-A)\right)} </math>
▲AB sera alors la distance de la matrice A à la matrice B.
 
Si 0 est la matrice nulle, on notera simplement le vecteur :
:<math> \overrightarrow{ A}=\overrightarrow{0A} </math>▼
 
▲<math> \overrightarrow{A}=\overrightarrow{0A} </math>
 
On introduit ainsi une géométrie matricielle.
 
 
Les [[Espace euclidien/Produit scalaire|propriétés générales des espaces euclidiens]] s’appliquent ainsi à M<sub>''m'',''n''</sub>(ℝ).
 
On a par exemple :
 
{{théorème
| titre = [[Théorème de Pythagore]]
| contenu =
Pour toutes matrices ''A'', ''B'', ''C'' appartenant à M<sub>''m'',''n''</sub>(ℝ),
:<math> \overrightarrow{AB}.\cdot\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2 </math>.▼
▲<math> \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2 </math>
 
Autrement dit, dans tout triangle matriciel rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.
Ligne 76 ⟶ 66 :
 
{{Propriété|titre=Propriété 11 (inégalité de Cauchy-Schwarz)|contenu=
<math>\forall A,B\in\operatorname M_{m,n}(\R)\quad \mathrm{Tr}(^t\!BA)\leq \left(le\mathrm{Tr}(^t\!AA)\right)\left(\mathrm{Tr}(^t\!BB)\right)</math>.
}}
 
Ligne 82 ⟶ 72 :
| titre = Propriété 12
| contenu =
<math> \forall A,B,C\in\operatorname M_{m,n}(\R)\quad\langle AB|\mid C\rangle = \langle B|\mid(^tAt\!A)C\rangle </math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
:<math> \langle A.B|AB\mid C\rangle =\operatorname{Tr}\left(^t\!(AB)C\right) =\operatorname{Tr}\left(^tBt\!B^tACt\!AC\right) =\langle B|\mid(^tAt\!A)C\rangle </math>.
}}
 
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Trace_et_transposée_de_matrice/Espace_euclidien_sur_un_ensemble_de_matrices »