Wikiversité

« Matrice/Inverse » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
m màj sommaire
Annulation des modifications 675036 de Crochet.david.bot (discussion) + début de relecture-réécriture
Balise : Annulation
Ligne 9 :
{{Wikipédia|Matrice inversible}}
 
Nous avons défini le produit matriciel et constaté qu'il n'était ni commutatif, ni ''[[Loi (mathématiques)/Loi interne#Élément simplifiable|simplifiable]]'' à gauche ou à droite. Comme annoncé alors, nous allons voir dans ce chapitre que cependant, certaines matrices ''carrées'' sont simplifiables (des deux côtés) et même '''''[[Théorie des groupes/Lois de composition internes, monoïdes#Loi de composition interne|inversibles]]''''', sous réserve que l'anneau ''K'' soit un ''[[Corps (mathématiques)/Définitions#Corps|corps commutatif]]'' (comme <math>\R</math> ou <math>\C</math>), ''ce que nous supposerons désormais''.
== Introduction ==
Après avoir vu qu’il était possible de multiplier des matrices entre elles, on peut naturellement se demander s'il est possible de « diviser » par des matrices. Une telle chose n'a pas de sens rigoureux mathématiquement, et amène à la notion d'inverse, développée dans ce chapitre.
 
== Exemple motivant ==
Soit une équation simple impliquant des nombres réels :
<math>a \cdot xax = b</math>
On suppose <math>a</math> et <math>b</math> non nulsnul. Alors la solution existe, est unique, et il s'agit de :
:<math>x = \frac ba= \frac1a\cdottimes b</math>.
On cherche à trouver quelque chose d'équivalentanalogue pour les matrices, qui permettrait de résoudre les équations ''matricielles'' de même type :
:<math>\mathbf A \cdot \mathbf XAX = \mathbf B</math>.
 
== Définition ==
{{Définition
| titre =Matrice Inverseinversible d'uneet sa matrice inverse
| contenu =
Soit '''<math>M'''</math> une matrice carrée de taille ''n × n''. Lorsqu'elle existe, on appelle '''inverse''' de '''<math>M'''</math>, et l'on note '''<math>M'''⁻¹^{-1}</math>, l'unique matrice carrée de taille ''n × n'' telle que :
<math>\mathbf M \cdot \mathbf ,M^{-1} = \mathbf M^{-1} \cdot \mathbf ,M = \mathbf I_n</math>.
UneCette matrice dontinverse leest déterminantalors n’estunique, paset nul<math>M</math> est dite '''matrice inversible'''.▼
}}
 
Si <math>M</math> est inversible alors <math>\det M\ne0</math> car
On peut remarquer, d’après les propriétés du déterminant vues dans un précédent chapitre, que :
:<math>\mathrm{det}\, \mathbf M^{-1} \cdotdet M=\mathrmdet(M^{det-1}M)=\, det(\mathbfmathrm MI_n)= 1 </math>.
Réciproquement :
Cette relation ne peut pas être vérifiée si le déterminant de '''M''' est nul. Le théorème suivant renforce cette constatation :
 
 
{{Théorème
| titre=ExistenceCondition et unicité de ld'inverseinversibilité
| contenu =
Soit uneUne matrice carrée '''<math>M'''.</math> Alorsest '''M''' admet un inverseinversible si (et seulement si) <math>\det M\ne0</math>.
<math>\mathrm{det}\, \mathbf M \neq 0</math>.
On a alors : l'inverse de ''M'' est unique et
<math>\mathrm{det}\, \mathbf M^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}\, \mathbf M} = \left(\mathrm{det}\, \mathbf M\right)^{-1}</math>
▲Une matrice dont le déterminant n’est pas nul est dite '''matrice inversible'''.
}}
 
== Propriétés de l'inverse ==
 
{{Propriété|titre=Propriétés de l'inverse d'une matrice
Ligne 65 ⟶ 60 :
{{Attention|Attention ! Cette dernière règle est souvent négligée et source d'erreurs !}}
 
== Ensemble des matrices inversibles ==
{{Propriété|Structure de l’ensemble des matrices inversibles
| contenu ={{Wikipédia|Groupe linéaire}}
Ligne 81 ⟶ 76 :
Lorsque l’on travaille dans des ensembles moins familiers (comme l'[[Anneau (mathématiques)/Exercices/Étude de l'anneau Z8|anneau <math>\Z/8\Z</math>]], dans lequel les éléments non nuls ne sont pas tous inversibles), il ne suffit pas que <math>\det A</math> soit non nul pour que <math>A</math> soit inversible.
 
== Calcul de l'inverse ==
{{Wikipédia|Comatrice}}
La formule de [[w:Pierre-Simon de Laplace|Laplace]] fournit, lorsque <math>\det A</math> est inversible, une expression de la matrice inverse, à partir de la ''transposée'' de la comatrice de <math>A</math> :
Ligne 90 ⟶ 85 :
 
Calculer l'inverse d'une matrice est une tâche ardue à la main dès lors qu'on aborde les matrices 3 × 3, et la difficulté croît avec la taille.
=== Cas des matrices 2 × 2 ===
 
On sait que le déterminant des matrices 2 × 2 de la forme <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> est <math>ad - bc</math>.
Ligne 118 ⟶ 113 :
}}
 
=== Cas général ===
Le moyen le plus simple est d’utiliser la méthode dite du pivot de Gauss.
 
Ligne 141 ⟶ 136 :
{{Attention|Avec_fond = oui|Ici les notations '''A*''' et '''Id*''' ne veulent absolument rien dire ; elles sont juste ici pour se souvenir que les matrices qui leur sont associées sont issues respectivement de A et Id.}}}}
 
=== Inversion par blocs ===
 
== Interprétations ==
 
Dire qu'une matrice '''A''' est inversible équivaut à chacune des propositions suivantes :
Ligne 152 ⟶ 147 :
 
 
== Inversion par la méthode du pivot ==
 
[[Fichier:L12a.ogv|left|800px|Inversion par la méthode du pivot]]
Ligne 158 ⟶ 153 :
<!--
 
== Application à la résolution ==
-->
{{Bas de page
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Matrice/Inverse »