« Matrice/Inverse » : différence entre les versions
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→Interprétations : autres caractérisations de l'inversibilité, en essayant de ne pas faire trop long ni trop ésotérique |
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{{Wikipédia|Matrice inversible}}
Nous avons défini le produit matriciel et constaté qu'il n'était ni commutatif, ni ''[[Loi (mathématiques)/Loi interne#Élément simplifiable|simplifiable]]'' à gauche ou à droite. Comme annoncé alors, nous allons voir dans ce chapitre que cependant, certaines matrices ''carrées'' sont simplifiables (des deux côtés) et même '''''[[Théorie des groupes/Lois de composition internes, monoïdes#Loi de composition interne|inversibles]]''''', sous réserve que l'anneau ''K'' soit un ''[[Corps (mathématiques)/Définitions#Corps|corps commutatif]]'' (comme <math>\Q</math>, <math>\R</math> ou <math>\C</math>), ''ce que nous supposerons désormais''.
== Exemple motivant ==
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Une matrice carrée <math>M</math> est inversible si (et seulement si) <math>\det M\ne0</math>.
}}
Cette réciproque n'est garantie que lorsque ''K'' est un corps commutatif. Si ''K'' est seulement un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] commutatif, la condition <math>\det M\ne0</math> est à remplacer par : <math>\det M</math> est inversible dans ''K''. Par exemple dans <math>\mathrm M_n(\Z)</math>, les matrices inversibles ne sont pas toutes les matrices de déterminant non nul, mais seulement celles dont le déterminant est égal à <math>\pm1</math>.
== Propriétés de l'inverse ==
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}}
==
Puisque <math>\mathrm M_n(K)</math> est un anneau, on a immédiatement :
{{Propriété|
| contenu ={{Wikipédia|Groupe linéaire}}
▲Cela fait que l’ensemble des matrices inversibles de taille ''n × n'' possède une structure de ''[[Théorie des groupes|groupe]]'' multiplicatif. On l'appelle '''groupe général linéaire''' ou '''groupe linéaire''' et on le note
}}
Il est à noter que les matrices sont « presque toutes » inversibles (on peut donner un sens rigoureux à cela). Si on prend une matrice « au hasard », la probabilité qu'elle soit non inversible (c'est-à-dire de déterminant exactement 0) est nulle. En physique notamment, où l’on est parfois amené à inverser des matrices de mesures, on ne se pose même pas la question !
== Calcul de l'inverse ==
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