« Matrice/Inverse » : différence entre les versions
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*Si <math>\lambda\in K^*</math>, la matrice scalaire <math>\lambda\mathrm I_n</math> est inversible : <math>(\lambda\mathrm I_n)^{-1}=\frac1\lambda\mathrm I_n</math>.
*Plus généralement, une matrice diagonale <math>\operatorname{diag}\left(\lambda_1,\dots,\lambda_n\right)</math> est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux <math>\lambda_i</math> sont non nuls, et son inverse est alors <math>\operatorname{diag}\left(\frac1\lambda_1,\dots,\frac1\lambda_n\right)</math>.
}}▼
Si <math>M</math> est inversible alors <math>\det M\ne0</math> car▼
:<math>\det M^{-1}\det M=\det(M^{-1}M)=\det(\mathrm I_n)=1</math>.▼
Réciproquement :▼
{{Théorème▼
Cette réciproque n'est garantie que lorsque ''K'' est un corps commutatif. Si ''K'' est seulement un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] commutatif, la condition <math>\det M\ne0</math> est à remplacer par : <math>\det M</math> est inversible dans ''K''. Par exemple dans <math>\mathrm M_n(\Z)</math>, les matrices inversibles ne sont pas toutes les matrices de déterminant non nul, mais seulement celles dont le déterminant est égal à <math>\pm1</math>.▼
La transposée de l'inverse est l'inverse de la transposée, et vice versa : <math>(^t\!A)^{-1}={}^t\!(A^{-1})</math>.▼
}}
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*:<math>\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1} </math>.
==Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité==
===Non-nullité du déterminant===
Si <math>M</math> est inversible alors son déterminant est évidemment non nul, puisque
▲:<math>\det M^{-1}\det M=\det(M^{-1}M)=\det(\mathrm I_n)=1</math>.
▲Réciproquement :
▲{{Théorème|contenu=
▲
▲}}
▲Cette réciproque n'est garantie que lorsque ''K'' est un corps commutatif. Si ''K'' est seulement un [[Anneau (mathématiques)|anneau]] commutatif, la condition <math>\det M\ne0</math> est à remplacer par : <math>\det M</math> est inversible dans ''K''. Par exemple dans <math>\mathrm M_n(\Z)</math>, les matrices inversibles ne sont pas toutes les matrices de déterminant non nul, mais seulement celles dont le déterminant est égal à <math>\pm1</math>.
Cette caractérisation des matrices inversibles permet de démontrer que dans <math>\mathrm M_n(\R)</math> et dans <math>\mathrm M_n(\C)</math>:
*le sous-ensemble des matrices inversibles est dense (cf. [[Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 2-2 : densité de GLn]]) ;
*son complémentaire est [[w:Ensemble négligeable|négligeable]], c.-à-d. de [[w:Mesure de Lebesgue|mesure de Lebesgue]] nulle.
===Conditions équivalentes===
Dire qu'une matrice carrée ''A'' d'ordre ''n'' est inversible équivaut à chacune des propositions suivantes (dans lesquelles on identifie ''M''{{ind|''n'',1}}(''K'') à ''K{{exp|n}}'') :▼
* ''A'' est [[../Relations entre matrices|équivalente]] à la matrice identité I{{ind|''n''}} ;▼
* les colonnes de ''A'' forment une base de ''K{{exp|n}}'' ;▼
* le [[Système d'équations linéaires|système linéaire]] homogène ''AX'' = 0 a pour seule solution ''X'' = 0 ;▼
* pour tout ''b'' dans ''K{{exp|n}}'', le système linéaire ''AX = b'' a au plus une solution ;▼
* pour tout ''b'' dans ''K{{exp|n}}'', le système linéaire ''AX = b'' a au moins une solution ;▼
▲
*''A'' est inversible à gauche, c'est-à-dire qu'il existe une matrice ''B'' telle que ''BA'' = I{{ind|''n''}} ;▼
*''A'' est inversible à droite, c'est-à-dire qu'il existe une matrice ''B'' telle que ''AB'' = I{{ind|''n''}}.▼
== Calcul de l'inverse ==
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Par exemple : <math>\operatorname{com}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}</math>
Calculer l'inverse d'une matrice est une tâche ardue à la main dès lors qu'on aborde les matrices 3 × 3, et la difficulté croît avec la taille.
=== Cas des matrices 2 × 2 ===▼
▲=== Cas des matrices 2 × 2 ===
On sait que le déterminant des matrices 2 × 2 de la forme <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> est <math>ad - bc</math>.
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\end{matrix}</math>
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▲Dire qu'une matrice carrée ''A'' d'ordre ''n'' est inversible équivaut à chacune des propositions suivantes (dans lesquelles on identifie ''M''{{ind|''n'',1}}(''K'') à ''K{{exp|n}}'') :
▲* ''A'' est [[../Relations entre matrices|équivalente]] à la matrice identité I{{ind|''n''}} ;
▲* les colonnes de ''A'' forment une base de ''K{{exp|n}}'' ;
▲* le [[Système d'équations linéaires|système linéaire]] homogène ''AX'' = 0 a pour seule solution ''X'' = 0 ;
▲* pour tout ''b'' dans ''K{{exp|n}}'', le système linéaire ''AX = b'' a au plus une solution ;
▲* pour tout ''b'' dans ''K{{exp|n}}'', le système linéaire ''AX = b'' a au moins une solution ;
▲*''A'' est inversible à gauche, c'est-à-dire qu'il existe une matrice ''B'' telle que ''BA'' = I{{ind|''n''}} ;
▲*''A'' est inversible à droite, c'est-à-dire qu'il existe une matrice ''B'' telle que ''AB'' = I{{ind|''n''}}.
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