« Translation et homothétie/Exercices/Composition d'homothéties et de translations » : différence entre les versions

fin des sol
(fin des sol)
 
== Exercice 2-3 ==
Soient :
 
Soit *<math>h</math>, l'une homothétie, de centre <math>A</math> et de rapport <math>k</math>. ;
Nous noteront aussi *<math>Jt</math> leune centretranslation, de vecteur <math>h\circvec tu</math>.
 
SoitOn rappelle que <math>t\circ h</math>, laet translation<math>h\circ t</math> sont des homothéties de vecteurrapport <math>\vec uk</math>.
Nous noterons :
 
On rappelle (vu en cours) que *<math>t\circ hI</math> estle une homothétiecentre de rapport <math>kt\circ h</math>. ;
*<math>J</math> celui de <math>h\circ t</math> ;
 
Nous noteront *<math>IB</math> le centrel'image de <math>A</math> par <math>t\circ h</math>.
Montrez que :
 
#<math>\vec{IB}=k\vec{IA}</math> ;
Nous noteront aussi <math>J</math> le centre de <math>h\circ t</math>.
#<math>B=t(A)</math> ;
 
'''3°''' &nbsp;Montrer que #<math>\vec{AB}=\vec u</math> ;
Soit <math>B</math> l'image de <math>A</math> par <math>t\circ h</math> <math>\left(B=t\left(h(A)\right)\right)</math>.
'''4°''' &nbsp;Montrer que #<math>\vec{AI}=\frac1{1-k}\vec u</math> ;
 
'''1°''' &nbsp;Montrer que #<math>\vec{IBAJ}=k\vecfrac k{IA1-k}\vec u</math>.
{{Solution}}|contenu=
 
'''2°'''#Immédiat, &nbsp;Justifiezpar quedéfinition de <math>I</math> et <math>B=t(A)</math>.
#Immédiat, par définition de <math>A</math> et <math>B</math>.
 
#Immédiat, par la question précédente.
'''3°''' &nbsp;Montrer que <math>\vec{AB}=\vec u</math>
#D'après les questions 3 et 1, <math>\vec{AI}-\vec u=\vec{AI}-\vec{AB}=\vec{BI}=k\vec{AI}</math>, donc <math>(1-k)\vec{AI}=\vec u</math>.
 
#<math>J</math> est aussi le centre de <math>(h\circ t)^{-1}=t^{-1}\circ h^{-1}</math> donc en remplaçant <math>h</math> et <math>t</math> par leurs inverses dans la question précédente, on en déduit : <math>\vec{AJ}=\frac1{1-\frac1k}(-\vec u)=\frac k{1-k}\vec u</math>.
'''4°''' &nbsp;Montrer que <math>\vec{AI}=\frac1{1-k}\vec u</math>
}}
 
'''5°''' &nbsp;Montrer que <math>\vec{AJ}=\frac{k}{1-k}\vec u</math>
 
{{Solution}}
 
 
== Exercice 2-4 ==
{{…}}
 
{{Solution}}
 
 
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