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}}
== Dérivées des fonctions circulaires ==
{{Théorème
| contenu=
* La fonction cosinus définie sur <math>\Rcos</math> parest dérivable sur <math>f(x) = \cos(x)R</math> est dérivable suret <math>\Rcos'=-\sin</math>, sa dérivée est : .
* La fonction <math>\sin</math> est dérivable sur <math>\R</math> et <math>\sin'=\cos</math>.
* La fonction <math>\tan</math> est dérivable sur son domaine de définition, <math>\bigcup_{k\in\Z}\left]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[</math>, et <math>\tan'=1+\tan^2=\frac1{\cos^2}</math>.
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) = -\sin(x)</math></div> ▼}}
<br />
== Exercice ==
{{Théorème
'''Rappel ''' : Soitsoit une fonction ''g'' définie par ''g ''( ''x '') = ''f ''( ''ax + b )'' ) où '' ƒf'' est une fonction dérivable, alors ''g'' est dérivable et sa dérivée est donnée par : ▼* La fonction sinus définie sur <math>\R</math> par <math>f(x) = \sin(x)</math> est dérivable sur <math>\R</math>, sa dérivée est :
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) = \cos(x)</math></div>
}}
<br />
{{Théorème
| contenu=
* La fonction tangente définie sur la réunion des intervalles de la forme [pi/2+2k pi; pi/2 +2k pi] (k appartenant à <math>\Z</math>) par <math>f(x) = \tan(x)</math> est dérivable sur ces même intervalles, sa dérivée est :
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) = \left (\frac{\sin(x)}{cos(x)} \right)' = \frac{\cos(x) \times \cos(x) - \sin(x) \times (-\sin(x))}{cos^2 (x)} = \frac{\cos^2 (x) + \sin^2 (x)}{cos^2 (x)}</math>
* <math>cos^2 (x) + sin^2 (x) = 1 \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{cos^2 (x)}</math>
* <math>\frac{cos^2 (x)}{cos^2 (x)} + \frac{sin^2 (x)}{cos^2 (x)} \Rightarrow f'(x) = 1 + \tan^2 (x)</math></div>
}}
▲'''Rappel''' : Soit une fonction ''g'' définie par ''g(x) = f( ax + b )'' où ''ƒ'' est une fonction dérivable, alors ''g'' est dérivable et sa dérivée est :
<div style="text-align: center;"><math>g'(x) = a f ' (ax+b)</math></div>
== Exercice : Dériver les fonctions suivantes définies sur R == ▼
=== Exemple 1 ===
<div style="text-align: center;"><math>f(x) = \cos{(3x+2)}</math></div> ▼
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) = \ldots </math></div>
{{Solution
| contenu =
<math>f'(x)=-3 \sin{(3x+2)}</math> ▼}}
=== Exemple 2 ===
<div style="text-align: center;"><math>f(x) = \sin{(2x)}</math></div> ▼
<div style="text-align: center;"><math>f ' (x) =\ldots</math></div>
{{Solution
| contenu =
<math>f'(x) = 2\cos{(2x)}</math> ▼}}
=== Exemple 3 d'un courant sinusoïdal ===
Dans un circuit, on a un courant sinusoïdal
<div style="text-align: center;"><math>i(t) = 2 \cos{(\omega t-\phi)}</math></div>
où ω est la '''pulsation''' et <math>\phi</math> la '''phase'''.
Calculer sa dérivée par rapport au temps.
<div style="text-align: center;"><math>i '(t)=\ldots</math></div>
{{Solution
| contenu =
<math>i'(t)=-2\omega \sin{(\omega t-\phi)}</math> ▼}}
=== Exemple 4 ===
<div style="text-align: center;"><math>f(x) = \sin{\left (\frac{x}{2}\right )}</math></div> ▼
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) =\ldots</math></div>
{{Solution
| contenu =
<math>f'(x)=\frac{1}{2}\cos{\left (\frac{x}{2}\right )}</math> ▼}}
▲<div style="text-align: center;"><math> f g'(x) = -\sinaf'( xax+b)</math> .</div>
=== Exemple 5 ===
▲== Exercice : Dériver les fonctions suivantes définies sur <math>\R </math> ==:
<div style="text-align: center;"><math>f(x) = \cos{(-3x-7)}</math></div> ▼▲<div style="text-align: center;">#<math>f(x) = \cos{(3x+2)}</math> </div> ;
▲<div style="text-align: center;">#<math>f(x) = \sin{(2x)}</math> </div> ;
#<math>i(t) = 2 \cos{(\omega t-\phi)}</math> (exemple d'un courant sinusoïdal dans un circuit, où ω est la « pulsation » et <math>\phi</math> la « phase ») ;
▲<div style="text-align: center;">#<math>f(x) = \sin{\left (\frac{x}{2}\right )}</math> </div> ;
▲<div style="text-align: center;">#<math>f(x) = \cos{(-3x-7)}</math> </div>.
<div style="text-align: center;"><math>f '(x) =\ldots</math></div>
▲#<math>f'(x)=-3 \sin{(3x+2)}</math> .
{{Solution
▲#<math>f'(x) = 2\cos{(2x)}</math> .
| contenu =
#<math>fi'(xt)=3-2\omega \sin{(\omega t-3x-7\phi)}</math>.
▲#<math>f'(x)=\ frac{1}{2}frac12\cos{\left (\frac {x}{2} x2\right )}</math>
▲#<math> if'( tx)= -2\omega 3\sin{( \omega t- \phi3x-7)}</math>
}}
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