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« Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation » : différence entre les versions

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On note <math>\alpha</math> l'angle <math>(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})</math>
 
Le but du problème est de trouverTrouver <math>\alpha</math> pour que l'aire du triangle BCD soit maximum.
 
[[Fichier:Optimisation aire triangle.png|thumb|center|upright=2]]
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L'aire est donc maximale quand le sinus est maximal, c'est-à-dire pour <math>\alpha=\frac\pi2</math>.
 
<u>Remarque :</u> On a alors <math> \mathcal A=\frac52</math>.}}
 
== Problème 2 ==
Ligne 43 :
[[Fichier:Optimisation aire triangle2.png|thumb|center|upright=2]]
 
NB : On peut faire ce problème sans fixer <math>\gamma</math> (comme sur la figure), mais c’estc'est plus difficile. On prend donc <math>\gamma=\frac\pi6</math> pour fixer les idées.
 
On prend donc <math>\gamma=\frac\pi6</math> pour fixer les idées.
 
#Donner la relation entre <math>\alpha</math> et <math>\beta</math>.
Ligne 56 ⟶ 54 :
#Dresser le tableau de variations de <math>h</math> et conclure.
{{Solution|contenu=
#Dans le triangle ABC, on a :<math>\alpha+2\left(\beta+\frac\pi6\right)=\pi</math>.
:#<math>\alpha+BC=2\left(\beta+sin\frac\pi6\right)=\pialpha2</math>.
De plus, #<math>BCh=2\sin\beta\sin\frac\alpha2</math>.
:#<math>h'(\beta)=2\cossin\beta\cossin\left(\frac\pi6pi2-(\gamma+\beta)\right)-=2\sin(\beta\sin\left)cos(\frac\pi6+\beta\right)</math>.▼
 
:#<math>h'(\beta)=2\cos\beta\cos\left(\frac\pi6+\beta\right)-2\sin\beta+\sin\left(\frac\pi6+\beta\right)</math>.▼
Soit <math>h</math> la hauteur du triangle ABC issue de C ; on a alors :
#D'après la formule <math>\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b</math>, <math>h'(\beta)=2\cos\left(2\beta+\frac\pi6\right)</math>.▼
:<math>\begin{align}h&=2\sin\beta\sin\frac\alpha2\\
:#<math>\beta+\frac\pi6</math> varie dans <math>\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math> donc <math>\beta</math> varie dans <math>\left]-\frac\pi2-\frac\pi6,\frac\pi2-\frac\pi6\right]=\left]-\frac{2\pi}3,\frac\pi3\right]</math>.▼
&=2\sin\beta\sin\left(\frac\pi2-(\gamma+\beta)\right)\\
#Finalement, <math>2\beta+\frac\pi6</math> varie dans <math>\left]-\frac{7\pi}6,\frac{5\pi}6\right]</math>. Son cosinus s'annule donc pour <math>2\beta+\frac\pi6=\pm\frac\pi2</math>, c'est-à-dire <math>\beta=\frac\pi6</math> ou <math>-\frac\pi3</math>.▼
&=2\sin(\beta)cos(\frac\pi6+\beta).\end{align}</math>
 
Il s'agit à présent d'étudier la fonction <math>h</math>.
 
Dérivons-la par rapport à <math>\beta</math> :
▲:<math>h'(\beta)=2\cos\beta\cos\left(\frac\pi6+\beta\right)-2\sin\beta\sin\left(\frac\pi6+\beta\right)</math>.
 
▲D'après la formule <math>\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b</math>,
▲:<math>h'(\beta)=2\cos\left(2\beta+\frac\pi6\right)</math>
:<math>\beta+\frac\pi6</math> varie dans <math>\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right]</math>
donc <math>\beta</math> varie dans
▲:<math>\left]-\frac\pi2-\frac\pi6,\frac\pi2-\frac\pi6\right]=\left]-\frac{2\pi}3,\frac\pi3\right]</math>.
 
▲Finalement, <math>2\beta+\frac\pi6</math> varie dans <math>\left]-\frac{7\pi}6,\frac{5\pi}6\right]</math>.
 
Son cosinus s'annule donc pour :
:<math>2\beta+\frac\pi6=\pm\frac\pi2</math>,
c'est-à-dire :
:<math>\beta=\frac\pi6</math> ou <math>-\frac\pi3</math>.
}}
 
Ligne 87 ⟶ 67 :
On se place dans un repère orthonormé <math>(O,\overrightarrow i,\overrightarrow j)</math>.
 
Un projectile est lancé du point origine <math>(0,0)</math> à une vitesse de <math>\|\overrightarrow v\|=5 \;\mathrm{m.s}^{-1}</math>.
 
On note : <math>\alpha=(\overrightarrow i,\overrightarrow v)\in\left[0,\frac\pi2\right[</math>.
 
[[Fichier:Parabole balistique 1.png|thumb|center|upright=2]]
 
Le but du problème est de trouver <math>\alpha</math> pour que le projectile touche le sol le plus loin possible du point O.
 
Les lois de la physique donnent, en négligeant le frottement de l'air et la variation du champ de pesanteur :
:<math>y=x\tan\alpha-\frac{x^2}{5\cos^2\alpha}</math>.
#Calculer l'abscisse <math>c</math> du point de chute du projectile en fonction de <math>\alpha</math>.
Ligne 102 ⟶ 82 :
#Conclure.
{{Solution|contenu=
#Le projectile touche le sol au point de coordonnées <math>(x,0)</math> ; il faut résoudre l'équation <math>x\tan\alpha-\frac{x^2}{5\cos^2\alpha}=0</math>. On obtient les solutions <math>x_0=0</math> et <math>x_1=5\cos^2\alpha\tan\alpha</math>. Donc <math>c=5\cos^2\alpha\tan\alpha</math>.
#:On obtient les solutions <math>x_0=0</math> et <math>x_1c'(\alpha)=5\left(-2\sin\alpha\cos\alpha\tan\alpha+\cos^2\alpha\tan;\frac1{\cos^2\alpha}\right)=5\left(1-2\sin^2\alpha\right)</math>.
#<math>\begin{array}{c|ccccc|}
 
\alpha&0&&\frac\pi4&&&\frac\pi2\\
Donc <math>c=5\cos^2\alpha\tan\alpha</math>.
\hline
 
c'(\alpha)&&+&0&-&&\|\\
Dans la suite du problème, on considérera <math>\alpha\in\left[0,\frac\pi2\right[</math>.
\hline
 
&&&\frac52&&&\|\\
'''2.''' <math>c'(\alpha)=5\times 2(-\sin\alpha\cos\alpha\tan\alpha+5\cos^2\alpha\times\frac1{\cos^2\alpha}}=-10\sin^2\alpha+5</math>.
c(\alpha)&&\nearrow&&\searrow&&\|\\
 
&0&&&&0^+&\|\\
'''3.''' On résout <math> c'( \alpha ) = 0 </math>, on obtient <math>\sin^2\alpha=\frac12</math> donc <math>\alpha=\frac\pi4</math>.
\hline
 
\end{array}
[[File:Tableau variations balistique.png|thumb|left|thumb]]
</math>
 
'''4.''' Donc le#Le projectile touchera le sol le plus loin pour <math>\alpha=\frac\pi4</math> donc à une distance de {{unité|2.5|mètres}} de son origine.
}}
 
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