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« Continuité et variations/Exercices/Fonctions continues strictement monotones » : différence entre les versions

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{{Clr}}
== Exercice 3-1 ==
''u'' est définie surSoit <math>u:\left[0,1\right]\to\R</math> définie par <math>u(x)=1+(-2x+1)\operatorname e^{2x}</math>.
On#Vérifier calculeque pour tout <math>u(0)=2x</math> etde <math>\left[0,1\right]</math>, <math>u'(1x)=1-4x\operatorname e^2<0{2x}</math>.▼
 
#Démontrer que l'''1.'''équation Vérifier<math>u(x)=0</math> queadmet une poursolution toutunique <math>x\alpha</math> dedans <math>\left[0,1\right]</math>, <math>u'(x)=-4x\operatorname e^{2x}</math>.
'''3.''' #Donner un encadrement de <math>\alpha</math> au centième.▼
 
'''4.''' #Dresser le tableau de signe de <math>u(x)</math> en justifiant.▼
'''2.''' Démontrer que l'équation <math>u(x)=0</math> admet une solution unique <math>\alpha</math> dans <math>\left[0,1\right]</math>.
 
▲'''3.''' Donner un encadrement de <math>\alpha</math> au centième.
 
▲'''4.''' Dresser le tableau de signe de <math>u(x)</math> en justifiant.
 
{{Solution|contenu=
'''1.''' #On utilise les formules des dérivées sur les sommes et les produits de fonctions. <math>u'(x)=-2\operatorname e^{2x}+(-2x+1)2\operatorname e^{2x}=(-2-4x+2)\operatorname e^{2x}=-4x\operatorname e^{2x}</math>.
#D'après la question précédente, <math>u</math> est strictement décroissante donc il existe au plus un tel <math>\alpha</math>. Pour montrer qu'il en existe un, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires : <math>u(0)=2>0</math> et <math>u(1)=1-\operatorname e^2<0</math> et la fonction <math>u</math> est continue (puisqu'elle est même dérivable).
 
#<math>0{,}63<\alpha<0{,}64</math>.
<math>u'(x)=-2\operatorname e^{2x}+(-2x+1)2\operatorname e^{2x}=(-2-4x+2)\operatorname e^{2x}=-4x\operatorname e^{2x}</math>.
#D'après les questions 1 et 2, <math>u(x)>0\Leftrightarrow x<\alpha</math>. Le tableau de signe de <math>u(x)</math> est donc : <math>\begin{array}{c|ccccc|}
 
x&0&&\alpha&&1\\
'''2.''' Sur l'intervalle <math>\left[0,1\right]</math>, <math>-4x\le0</math> et pour tout <math>x</math>, <math>\operatorname e^{2x}>0</math> donc <math>u'\le0</math> et la fonction <math>u</math> est strictement décroissante sur <math>\left[0,1\right]</math>.
\hline
 
u(x)&&+&0&-&&\\
▲On calcule <math>u(0)=2</math> et <math>u(1)=1-\operatorname e^2<0</math>.
\hline
 
\hline
La fonction <math>u</math> est continue car produit et somme de fonctions continues.
\end{array}
 
</math>
Finalement, la fonction <math>u</math> est continue, strictement décroissante sur l'intervalle <math>\left[0,1\right]</math> et <math>u(1)<0<u(0)</math>.
 
Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique <math>\alpha</math> dans <math>\left[0,1\right]</math> vérifiant <math>u(\alpha)=0</math>.
 
'''3.''' Encadrement de <math>\alpha</math> au centième : <math>0{,}63<\alpha<0{,}64</math>.
 
'''4.'''
 
[[Fichier:Tableau_variations.png|thumb|left|upright=2]]
}}
 
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